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[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polin�mio - Facamp06
Ol� Raul,
Vaai abaixo uma sugest�o:
Sejam xi (i=1,2,..,100) as ra�zes reais de p(x)=0.
Das rela��es de Girard (ou viete). x1+x2+....x100 = 600.
Do teorema da decomposi��o, p(x) = (x-x1)(x-x2)......(x-x100).Portanto,
p(7) = (7-x1)(7-x2)......(7-x100).
Nestas condi��es, provemos que:
se P(7)> 1, ent�o existe ao menos uma raiz xi maior que 7.
demonstra��o ( Redu��o ao absurdo)
Suponhamos por absurdo que nenhuma das ra�zes reais xi (i=1,2,..,100)
seja maior que 7. Assim, 7- xi > 0 para todo i = 1,2,..,100 . Ent�o, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever:
[ (7-x1) + (7-x2) + ....+ (7-x100) ] /100 >= [ f(7) ] ^ (1/100)
dai, [ (700 - 600)/100 ] ^100 > = f(7), isto �, f(7) < = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) > 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque 7 - x k < =0, como xk � diferente de 7,pois p(7)>1, conclui-se que xk > 7, finalizando a demonstra��o pedida.
Um abra�o
do amigo PONCE
desculpe-me por qualquer engano ..
De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
Data: |
Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200 |
Assunto: |
[Spam] [obm-l] Polin�mio - Facamp06 |
> Boa tarde!
>
> Suponha que o polin�mio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 ra�zes reais e que p(7)>1.
> Prove que h� pelo menos uma raiz maior que 7.
>
> Agrade�o a ajuda,
>
> Raul
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[]a, L.PONCE.