[obm-l] Injecao continua de R^3 em R^2

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Proponho aqui mais um problema:
Por que a ideia da demonstracao abaixo nao funciona para provar que nao existe uma funcao continua e injetiva de R^3 em R^2?
(ou seja, tomar em R^3 um conjunto nao-enumeravel de quadrados bi-dimensionais disjuntos dois a dois) 
Isso quer dizer que existe uma tal funcao?

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 10 Nov 2006 07:33:40 -0300
Assunto: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

> Ha alguns dias o Artur mandou uma mensagem que pedia para provar que nao existe uma funcao injetiva continua de um 
produto 
> cartesiano dois ou mais intervalos nao-degenerados em R. Um caso particular e provar nao existe uma funcao injetiva continua 
de R^2 em 
> R.
> 
> Suponha que exista f:R^2 -> R continua e injetiva.
> 
> Se PQ e um segmento de reta fechado e nao-degenerado em R^2, entao PQ e compacto e conexo.
> Como f e continua, f(PQ) sera compacta e conexa ==> f(PQ) = [a,b] = intervalo compacto de R
> Como f e injetiva, f(P) <> f(Q) ==> [a,b] e nao-degenerado.
> 
> R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e nao-degenerados.
> Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
> Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos compactos disjuntos e nao-degenerados.
> No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos (tome um racional em cada um deles).
> Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 em R.
> 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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