[obm-l] Injecao continua de R^2 em R

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Ha alguns dias o Artur mandou uma mensagem que pedia para provar que nao existe uma funcao injetiva continua de um produto 
cartesiano dois ou mais intervalos nao-degenerados em R. Um caso particular e provar nao existe uma funcao injetiva continua de R^2 em 
R.

Suponha que exista f:R^2 -> R continua e injetiva.

Se PQ e um segmento de reta fechado e nao-degenerado em R^2, entao PQ e compacto e conexo.
Como f e continua, f(PQ) sera compacta e conexa ==> f(PQ) = [a,b] = intervalo compacto de R
Como f e injetiva, f(P) <> f(Q) ==> [a,b] e nao-degenerado.

R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e nao-degenerados.
Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1) sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos compactos disjuntos e nao-degenerados.
No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos (tome um racional em cada um deles).
Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de R^2 em R.

O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto pelo Artur.

***

Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma bijecao continua.
Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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