[obm-l] Re:[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 +0000 (GMT)
Assunto: [obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

> Caros colegas da lista,
> 
> Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte
> desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado
> em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando
> geometria simples. Aliás o legal desse problema foi
> justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a
> solução geométrica.
> 
> "Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e
> outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e
> centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de
> intersecção superior das circunferências e R é o ponto de
> intersecção da reta PQ com o eixo x. 
> 
> O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando
> r--->0+?"
> 
> [],
> Marcelo Cruz
> (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática)
> 

Ponha O = (0,0) e A = (2,0).
Uma solucao puramente geometrica consiste em se provar que o triangulo QAR e isosceles.
Isso pode ser feito atraves do exame dos angulos do triangulo isosceles POQ (POQ = 2t e OPQ = OQP = 90-t),
dos triangulos retangulos OQA (inscrito num semi-circulo - OQA = 90, AOQ = 90-2t ==> OAQ = 2t),
e POR (POR = 90, OPR = OPQ = 90-t ==> ORP = ARQ = t).
OAQ e angulo externo ao triangulo QAR ==> OAQ = AQR + ARQ ==> 2t = AQR + t ==> AQR = t ==>
QAR e isosceles ==> QA = AR = OR - OA = OR - 2 ==> OR = QA + 2.

Quando r -> 0+ ==> Q -> O ==> QA -> QO = 2 ==> OR -> 4.

[]s,
Claudio.



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