On 11/6/06, Artur Costa
Steiner <artur.steiner@mme.gov.br >
wrote:
>Mas
sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua
num subconjunto denso no seu dominio?
>Como derivadas tem a
propriedade do valor intermediario, as
descontinuidades duma tal funcao
(caso exista) devem ser do tipo >zig-zag.
Não, não existe não.
Toda derivada definida em um intervalo aberto, limitado
ou não, é o
limite de uma sequencia de funcoes continuas. Há um teorema
da
Analise/Topologia que diz que, se g eh o limite de uma sequencia de
funcoes
continuas definidas num espaco de Baire e com valores
em R, entao o
conjunto das descontinuidades de g eh magro na
classificacao de Baire, o que
implica que tenha interior vazio. Logo, o
conjunto das descontinuidades de
uma derivada tem sempre interior vazio
e, portanto, nunca eh denso.
Isso está errado, Q (o conjunto dos números racionais) é
magro, tem interior vazio,
como qualquer subconjunto enumerável de
R, e é mais ou menos trivial o fato de Q
ser denso em R.
Densidade
não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com o conceito de
magro, nem com o conceito de conjunto de medida zero!
Já que você citou
o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do livro ¨Aplicações da
Topologia à Análise" de Hönig, C. S. (Projeto Euclides), lá existe muito
material sobre este assunto.
Manuel Garcia
>Ou
seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais
e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x = >p/q (com
p inteiro, q
natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e
irracional) nao e
derivada de funcao alguma, pois > sua
imagem esta contida em [0,1] mas so
contem 0 e racionais da forma
1/q.
Exato.
>Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na
sequencia de funcoes (f_n) dada
por:
>f_n(x) =
sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso
contrario.
>So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao
converge (ja que
(h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge -
se
>convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo
racional de pi, o
conjunto de valores de aderencia da
sequencia > (h_n(x)) e o
intervalo
[0,1]).
> Enfim, como o Artur disse, a ideia da
demonstracao deve vir de alguma
outra area da
matematica...
Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu
ateh uma prova para
um caso menos restrito em que admitiu apenas a
existencia das derivadas de
Dini. Aquela prova que eu dei, na qual
consegui relacionar fatos de varia
areas da matematica, alguns nao gostam
porque a julgam anti-natural, pois
envolve conceitos nao muito
conhecidos por quem nao estuda um
pouquinho
mais.
Artur
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Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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