Re: [obm-l] Espaco dual

[Ronaldo Luiz Alonso <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

Artur Costa Steiner wrote:
> Foi-me pedido que provasse uma afirmacao, mas eu, possivelmente por falta de conhecimento, estou perdido, talvez alguem possa ao menos dar uma orientacao:
>
>
> Provar que o dual do espaço das sequências em F que convergem para zero é isometricamente isomorfo ao espaço das sequencias absolutamente convergentes em F' (o espaco dual de F).
>
>   
    Talvez isometria e isomorfismo sejam coisas distintas neste caso.  
Isometria preserva
distâncias e isomorfismo preserva estruturas (no caso o problema deve 
estar se referindo
a estrutura de espaço vetorial). Mas não sei se uma coisa implica na outra.

     Uma das formas de provar isso talvez seja construir explicitamente
esse isomorfismo a partir de   S={ {s_i}, tal que s_i ->0 quando i-> oo}  e
depois encontrar como as distâncias são preservadas.


> Aqui, F eh um espaco vetorial. O dual de um espaco vetorial Feh o espaco vetorial formado pelas funcoes lineares de F sobre os reais, nao eh isso?
>
>   
    A definição é:
 O espaço dual de um espaço vetorial V é o espaço formado pelas 
transformações de V
em R se o corpo for o corpo dos reais.    Esse espaço é chamado de  V*.
  Os elementos desse espaço são chamados de funcionais lineares
 e mapeiam vetores em escalares (acho que é isso).   Se for o corpo dos 
complexos
então as os funcionais mapeiam elementos de V em complexos.   Os 
elementos de
V são vetores covariantes e os de V* são chamados de vetores contravariantes
ou 1-formas.

      Concretamente se interpretarmos **R^n como espaço de colunas de n 
números reais
 seu espaço dual é o espaço de vetores linha  contendo n números reais. 
Essas linhas
agem em vetores de R^n como funcionais lineares com a operação de 
multiplicação de
matrizes.  


Ronaldo.
> Isometricamente isomorfo é um pleonasmo, nao eh? isomorfo jah pressupoe isomorfismo. Mas o enunciado estava assim.
>
> Artur
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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