[obm-l] Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Mas sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua num subconjunto denso no seu dominio?
Como derivadas tem a propriedade do valor intermediario, as descontinuidades duma tal funcao (caso exista) devem ser do tipo zig-zag.
Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x = p/q (com p 
inteiro, q natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e derivada de funcao alguma, pois sua imagem esta contida em 
[0,1] mas so contem 0 e racionais da forma 1/q.

Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n) dada por:
f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso contrario.
So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que (h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se 
convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi, o conjunto de valores de aderencia da sequencia (h_n(x)) e o 
intervalo [0,1]).

Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma outra area da matematica...

[]s,
Claudio.
 
---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 1 Nov 2006 16:46:57 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo

> On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> > A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e
> > talvez seja mesmo):
> > 
> > Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R.
> > Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.
> 
> Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho
> que a demonstração não deve ser tão simples assim. 
> 
> Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0
> onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido.
> Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável.
> Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores
> arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum
> subintervalo cujo fecho inclua 0.
> 
> Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade
> nem sempre implica localmente Lipschitz.
> 
> A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas.
> Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua)
> ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert,
> respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços
> o problema análogo é fácil.
> 
> []s, N.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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