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Re: [obm-l] eQuaCao



Este problema e um classico. Ja vi ele numa das listas de preparacao que eu usava para a OBM, e ela ja chegou a cair na USAMO (a olimpiada estadunidense de matematica)

Bem, outro modo de fazer e o seguinte:

x^4+x^3+0x^2+0x-1 = 0

Se a,b,c,d sao as raizes, sabemos que
a+b+c+d=-1
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0
abc+abd+acd+bcd=0
abcd= -1


Agora, temos que calcular o polinomio cujas raizes sao
ab,ac,ad,bc,bd,cd
Para tal, temops que calcular todas as somas, todos os produtos 2 a 2 somados, todos os produtos 3 a 3 somados, ..., o produto de todos.

Bem, vamos lá!
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0

abac+abad+abbc+abbd+abcd
+acad+acbc+acbd+accd
+adbc+adbd+adcd
+bcbd+bccd
+bdcd=
a^2bc+a^2bd+ab^2c+ab^2d+abcd
+a^2cd+abc^2+abcd+ac^2d
+abcd+abd^2+acd^2
+b^2cd+bc^2d
+bcd^2=











Em 23/10/06, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] eQuaCao
> x^4 + x^3 -1 = 0
> se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo
> x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0
>  
>  
> alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?
>  
>
Eu não.
Mas com um monte de contas fica assim...
 
f(x) = x^4+x^3-1 ==>
f'(x) = x^2(4x+3) ==>
f'(x) < 0 se x < -3/4  e  f'(x) > 0 se x > -3/4 e x <> 0.
f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 ==>
f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1.
As outras duas raízes são complexas conjugadas.
Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas.
Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2.
 
x^4+x^3-1 = 0 ==> x+1 = 1/x^3
 
u+1+iv = 1/(u+iv)^3   (i)
u+1-iv = 1/(u-iv)^3   (ii)
 
Multiplicando (i) e (ii):
(u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 ==>
k+2u+1 = 1/k^3 ==>
u = (1-k^3-k^4)/(2k^3)   (iii)

Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))
2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 ==>
2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 ==>
2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==>
u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3   (iv)

Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))
2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 ==>
2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 ==>
2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 ==>
-1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 ==>
-1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3    (v)
 
Substituindo (v) em (iv):
u+1 = -u(1+2/k^2) ==>
u = -k^2/(2(k^2+1))   (vi)
 
Igualando (iii) e (iv):
-k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) ==>
k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 ==>
k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0
De onde você tirou esse problema?
 
[]s,
Claudio.



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