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Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART) |
> x^4 + x^3 -1 = 0
> se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo
> x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0
>
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> alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..?
>
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Eu não.
Mas com um monte de contas fica assim...
f(x) = x^4+x^3-1 ==>
f'(x) = x^2(4x+3) ==>
f'(x) < 0 se x < -3/4 e f'(x) > 0 se x > -3/4 e x <> 0.
f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 ==>
f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1.
As outras duas raízes são complexas conjugadas.
Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas.
Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2.
x^4+x^3-1 = 0 ==> x+1 = 1/x^3
u+1+iv = 1/(u+iv)^3 (i)
u+1-iv = 1/(u-iv)^3 (ii)
Multiplicando (i) e (ii):
(u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 ==>
k+2u+1 = 1/k^3 ==>
u = (1-k^3-k^4)/(2k^3) (iii)
Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))
2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 ==>
2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 ==>
2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==>
u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3 (iv)
Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))
2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 ==>
2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 ==>
2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 ==>
-1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 ==>
-1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3 (v)
Substituindo (v) em (iv):
u+1 = -u(1+2/k^2) ==>
u = -k^2/(2(k^2+1)) (vi)
Igualando (iii) e (iv):
-k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) ==>
k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 ==>
k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0
De onde você tirou esse problema?
[]s,
Claudio.