[obm-l] Re:[obm-l] Números Algebricos

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 19 Oct 2006 22:42:44 +0000 (GMT)
Assunto: [obm-l] Números Algebricos

> Olá para todos. Estou com o seguinte problema:
> 
> Determinar uma base integral de Q(2^1/3).
> 
> Vi no livro do Ribenboim que a base integral é {1,2^1/3,4^1/3}. Tentei aplicar um teorema que diz que se a base for composta de 
inteiros algebricos e seu discriminante for livre de quadrados, entao ela é uma base integral. No entanto, o discriminante da base acima 
é -108. Alguém aí tem alguma idéia?
> 
> Falow!
> 
> Tertuliano 
> 
Vou usar um outro teorema, que diz que se X = {1, t, t^2, ... } nao for uma base integral do anel dos inteiros de Q(t), entao vai existir 
um inteiro algebrico da forma (a_0 + a_1*t + a_2*t^2 + ...)/p, com 0 <= a_i <= p-1, onde p eh um primo cujo quadrado divide o 
discriminante de X.   

Seja r = 2^(1/3).
Entao, 2^2 e 3^2 dividem -108 = discriminante de {1, r, r^2}.
Logo, pode ser que existam inteiros algebricos das formas: 
A = (a+br+cr^2)/2, com a, b, c em {0,1} e pelo menos um dentre a, b, c diferente de zero
ou 
B = (a+br+cr^2)/3, com a, b, c em {0,1,2} e pelo menos um dentre a, b, c diferente de zero.

Agora, sabemos que se x eh um inteiro algebrico, entao Tr(x) e N(x) sao inteiros.

Pondo w = cis(2pi/3), teremos:
A:
Tr(A) = (a+br+cr^2)/2+(a+bwr+cw^2r^2)/2+(a+bw^2r+cwr^2)/2 = 3a/2
Tr(A) eh inteiro ==> a = 0

Se A eh inteiro algebrico, entao A - a/2 tambem eh:
8*N(A-a/2) = (br+cr^2)(bwr+cw^2r^2)(bw^2r+cwr^2) ==>
8*N(A-a/2) = w^3(br+cr^2)(br+cwr^2)(br+cw^2r^2) = (ar)^3+(br^2)^3 = 2b^3+4c^3 ==>
N(A-a/2) = (b^3+2c^3)/4 eh inteiro ==> b = c = 0

Logo, nenhum numero da forma A pode ser inteiro algebrico.


B:
Tr(B) = a

27*N(B) = (a+br+cr^2)(a+bwr+cw^2r^2)(a+bw^2r+cwr^2)
= a^3
+ a^2*(br+cr^2+bwr+cw^2r^2+bw^2r+cwr^2)
+ a*((br+cr^2)(bwr+cw^2r^2+bw^2r+cwr^2)+(bwr+cw^2r^2)(bw^2r+cwr^2))
+ (br+cr^2)(bwr+cw^2r^2)(bw^2r+cwr^2)
= a^3 + 2b^3 + 4c^3 - 6abc ==>
N(B) = (a^3+2b^3+4c^3-6abc)/27

A ideia agora eh provar que N(B) soh eh inteiro se a = b = c = 0.
Assim, suponhamos que nem todos sejam 0.
c = 0 ==> N(B) = (a^3 + 2b^3)/27
1 <= a^3 + 2b^3 <= 24 < 27 ==> 
N(B) nao eh inteiro

c = 1 ==> N(B) = (a^3 + 2b^3 - 6ab + 4)/27
N(B) eh inteiro ==>
a^3 + 2b^3 + 4 == 0 (mod 3) ==> 
a + 2b + 1 == 0 (mod 3) ==>
a = 2, b = 0  ou  a = 1, b = 2  ou  a = 0, b = 1 ==>
N(B) = 12/27  ou  16/27  ou  6/27 ==>
N(B) nao eh inteiro

c = 2 ==> N(B) = (a^3 + 2b^3 - 12ab + 32)
N(B) eh inteiro ==>
a^3 + 2b^3 - 1 == 0 (mod 3) ==>
a + 2b - 1 == 0 (mod 3) ==>
a = 2, b = 1  ou  a = 1, b = 0  ou  a = 0, b = 2 ==>
N(B) = 18/27  ou  33/27  ou  48/27 ==>
N(B) nao eh inteiro

Logo, nenhum numero da forma B pode ser inteiro algebrico.

Conclusao: os unicos inteiros algebricos de Q(r) sao da forma a + br + cr^2, com a, b, c inteiros.
Logo, {1,r,r^2} eh uma base integral de Q(r).

[]s,
Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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