Re:[obm-l] putnam 2002

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Expanda em fracoes parciais complexas:
f(x) = 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))
(w = cis(2pi/k))

A n-esima derivada eh:
f^(n)(x) = (-1)^n*n!*(A(0)/(x-1)^(n+1) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))^(n+1))
  
Agora, se a eh uma das raizes de x^k-1 e se q_a(x) = (x^k-1)/(x-a), entao:
q_a(x) eh um polinomio de grau k-1 tal que:
se a = 1, q_a(1) = q_1(1) = k;
se a <> 1, q_a(1) = 0.

p(x) = (x^k-1)^(n+1)*f^(n)(x) =
(-1)^n*n!*(A(0)*q_1(x)^(n+1) + A(1)*q_w(x)^(n+1) + ... + A(k-1)*q_w^(k-1)(x)^(n+1))

Logo, p(1) = (-1)^n*n!*A(0)*k^(n+1)

Resta calcular A(0).
1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1)) ==>
(x-1)/(x^k-1) = A(0) + A(1)*(x-1)/(x-w) + ... + A(k-1)*(x-1)/(x-w^(k-1))
Tomando limites quando x -> 1 em ambos os membros, obtemos:
1/k = A(0) + 0 ==> A(0) = 1/k
  
Assim, finalmente, achamos p(1) = (-1)^n*n!*k^n.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 19 Oct 2006 12:00:48 +0100
Assunto: [obm-l] putnam 2002

> Alguem poderia me ajudar com a questão abaixo,
> ela não parece difícil, acho que não estou manipulando as coisas como
> deveriam ser para isolar o que preciso,
> abraços,
> 
> Jhonata
> 
> 
> 
> k and n are positive integers. Let f(x) = 1/(xk - 1). Let p(x) = (xk - 1)n+1f
> n(x), where fn is the nth derivative. Find p(1)
> 
> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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