[obm-l] =?windows-1252?Q?RES=3A_=5Bobm-l=5D_Res=3A_=5Bobm-l=5DIntegral?==?windows-1252?Q?_de_F=EDsica_Qu=E2ntica?=

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Estas soluções através do desenvolvimento em series sao interessantes (quando da...), mas do ponto de vista formal acho que precisamos ainda provar que a serie das integrais das funcoes converge para a integral da funcao limite.  No caso, esta igualdade pode ser vista tanto como consequencia do teorema da convergencia monotonica como do t. da convergencia dominada. Para isso, precisamos provar que (x^3)/(exp(x) - 1) eh Riemann integravel em [0, oo). Mas isto nao eh dificil. Como exp(x) cresce monotonicamente para infinito em [0, oo), eh facil verificar que, para x > ln(2), exp(x) -1 > exp(x)/2 => x^3)/(exp(x) - 1) < 2 x^3 exp(-x), cuja integral ste converge (temos a funcao gama). Assim,  (x^3)/(exp(x) - 1) eh Riemann integravel em [0, oo), validando o desenvolvimento realizado.

 

Artur

[  -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Demetrio Freitas
Enviada em: terça-feira, 3 de outubro de 2006 20:40
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Res: [obm-l]Integral de Física Quântica

----- Mensagem original ----
De: Josimar Moreira Rocha <moreirarocha@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá.
Para resolver um problema de Física Quântica, há a seguinte sugestão:
fazer uma transformação de variável, achar a integral de (x^3)/(exp(x) - 1), cuja integração de 0 a infinito dá (pi^4)/15. Como se chega a este resultado?

 

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Pelo jeitão deve ter a ver com Zeta[4], concorda?

 

(x^3)/(exp(x) - 1) =  (x^3)*exp(-x) /(1-exp(-x) ) =>

(x^3)*exp(-x) /(1-exp(-x) )  =  SOMA{k=1..oo}(x^3*exp(-k*x)) =>

Agora integrando a série:

int{0..oo}( SOMA{k=1..oo}(x^3*exp(-k*x))) =>

SOMA{k=1..oo}( int{0..oo}(x^3*exp(-k*x))

 

Bem, agora tabela de integrais ou maple... daí temos:

int(x^3*exp(-k*x))  =  -(6+6*k*x+3*x^2*k^2+x^3*k^3)*exp(-k*x)/k^4  =>

int{0..oo}(x^3*exp(-k*x))  =  6/k^4

 

Voltando à série:

SOMA{k=1..oo}( int{0..oo}(x^3*exp(-k*x))=SOMA{k=1..oo}(6/k^4)

 

Somas de inversos de potências pares de inteiros é algo bem conhecido, então:

SOMA{k=1..oo}(6/k^4) = 6*Zeta(4)=6*Pi^4/90 = Pi^4/15

 

Porém esta série não é muito prática para calcular a integral entre outros limites.

 

[]’s Demetrio

 

 

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Para resolver um outro problema, eu chego à mesma integral, só que usando os limites 5500^-10 a 5510^-10. Será que é possível calcular?
Grato.
Josimar.

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