[obm-l] Res: [obm-l]Integral de Física Quântica

----- Mensagem original ----
De: Josimar Moreira Rocha <moreirarocha@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá.
Para resolver um problema de Física Quântica, há a seguinte sugestão:
fazer uma transformação de variável, achar a integral de (x^3)/(exp(x) - 1), cuja integração de 0 a infinito dá (pi^4)/15. Como se chega a este resultado?

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Pelo jeitão deve ter a ver com Zeta[4], concorda?

(x^3)/(exp(x) - 1) = (x^3)*exp(-x) /(1-exp(-x) ) =>

(x^3)*exp(-x) /(1-exp(-x) ) = SOMA{k=1..oo}(x^3*exp(-k*x)) =>

Agora integrando a série:

int{0..oo}( SOMA{k=1..oo}(x^3*exp(-k*x))) =>

SOMA{k=1..oo}( int{0..oo}(x^3*exp(-k*x))

Bem, agora tabela de integrais ou maple... daí temos:

int(x^3*exp(-k*x)) = -(6+6*k*x+3*x^2*k^2+x^3*k^3)*exp(-k*x)/k^4 =>

int{0..oo}(x^3*exp(-k*x)) = 6/k^4

Voltando à série:

SOMA{k=1..oo}( int{0..oo}(x^3*exp(-k*x))=SOMA{k=1..oo}(6/k^4)

Somas de inversos de potências pares de inteiros é algo bem conhecido, então:

SOMA{k=1..oo}(6/k^4) = 6*Zeta(4)=6*Pi^4/90 = Pi^4/15

Porém esta série não é muito prática para calcular a integral entre outros limites.

[]’s Demetrio

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Para resolver um outro problema, eu chego à mesma integral, só que usando os limites 5500^-10 a 5510^-10. Será que é possível calcular?
Grato.
Josimar.