Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Claudio,

Ai vai a quest�o que voc� chamou de (2) ===> 
tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7).

Ontem o  Marcelo postou uma solu��o legal para a quest�o mas ainda
assim achei que valia � pena postar a minha, pelo fato de parecer um
pouco mais natural (ser�) para os meninos do segundo grau e apresentar
uma estrat�gia util para problemas semelhantes.

Vamos mostrar que d� para calcular separadamente  sen pi/7.sen
2pi/7.sen3pi/7  e idem para os cossenos, ao inv�s de trabalhar
apenas com o produto das tangentes.   A estrat�gia � mostrar
que sen pi/7, sen 2pi/7 e sen 3pi/7 s�o ra�zes de um polin�nomio e dai o
produto das ra�zes pode ser calculado sem o conhecimento das
ra�zes.  Idem para os cossenos.   

Vamos l�:
Se x = pi/7  ou  3pi/7  ===>    3x + 4x
= pi ou 3pi e ent�o 
(1) cos 4x = - cos 3x  
"Infelizmente" o mesmo n�o ocorre para 2pi/7 mas observe
que  cos 5pi/7 = - cos 2pi/7  e ent�o para x = 5pi/7  vale
(1), pois 3x+4x = 37pi/7 = 5pi
Dai usando as rela��es b�sicas cos 2a  =  2(cos a)^2
-1   e    cos 3a =  4.(cos a)^3 - 3.cos
a  em (1), vem:
 [(2.cos x)^2 -1 ] ^2 -1  =  4.(cos x)^3 - 3.cos x 
Fazendo Y = cos x obtemos:
8Y^4 + 4Y^3 -8Y^3 -3Y + 1 = 0
Entretanto -1 � uma das ra�zes deste polin�mio e podemos elimin�-la
porque nem cos pi/7 nem cos 2pi/7 nem cos 3pi/7 valem -1.
Dividindo por Y - 1 obtemos:
P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1 
Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7   e  -cos 2pi/7 = cos
5pi/7 s�o as 3 ra�zes de P(Y).
Logo, seu produto vale  -1/8, ou seja, o produto desejado, 
cospi/7.cos2pi/7/cos3pi/7  vale 1/8

Na verdade, o procedimento para o c�lculo de
senpi/7.sen2pi/7.sen3pi/7  � semelhante. Vejamos:
Se  x = pi/7, 2pi/7 ou 3pi/7  tem-se 3x + 4x = pi ou 2pi ou
3pi, logo: 
(2)  sen 4x = sen 3x.
Usando as rela��es  sen 2a = 2sena.cosa  e sen 3a = 3.sena - 4
(sena)^3  em (2), obtemos:
2.sen2x.cos2x  =  3.senx - 4 (senx)^3  
4.senx.cos x. [1 - 2.(sen x)^2 ] = 3.senx - 4 (senx)^3  
Dai, como para nossos xizes, sen x<> 0, vem:  
(4)  4.cosx. [1 - 2.(sen x)^2 ]  = 3 - 4
(senx)^2     
Aqui uma pequena encrenca, pois neste desenvolvimento "sobra"
um "cos x " indesejado na obten��o do polin�mio  em
"sen x".
Elevado ao quadrado, substituindo (cos x) ^2  = 1 - (senx) ^2 
e  fazendo  (sen x)^2 = Y, obtemos:
Q(x) = 64Y^3 -112 Y^2 + 56 Y -7 = 0   
Dai, o produto das ra�zes deste polin�mio vale 7/64, que corresponde ao
quadrado do produto desejado  senpi/7.sen2pi/7.sen3pi/7.
Logo, obtemos raiz(7)/8. 

Abra�os,
Nehab

At 15:20 29/9/2006, you wrote:
> N�o.
>  
> Temos 3 em aberto de trigonometria:
>  
> 1) sen(x)*sen(2x)*sen(4x)*....sen(2^(n-1)*x)
>  
> 2) tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7)
> (por sinal isso � igual a raiz(7), mas eu achei a resposta com o
> Excel)
>  
> 3) cos(a)*cos(a*q)*....*cos(a*q^(n-1))
> (desse, eu conhe�o apenas a manjad�ssima solu��o para o caso q = 2)
>  
> []s,
> Claudio.
>  
> De:
> owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para:
> obm-l@mat.puc-rio.br
> C�pia: 
> Data:
> Fri, 29 Sep 2006 09:53:32 -0300
> Assunto:
> Re: [obm-l] RE: [obm-l] Arcos trigonom�tricos
> em PG
> > Oi, gente,
> > 
> > Se n�o me distra�, acho que a solu��o ainda n�o foi postada!!!
> Foi?
> > 
> > Nehab
> > 
> > 
> > At 16:48 28/9/2006, you wrote:
> > >� pois �, tinha muito tempo q eu naum entrava aqui, ai acabei
> > >postando t�pico repetido, putz que coincidencia em
> vinicius.
> > >vlws entaum
> > >M.A. Kamiroski M.
> > >
> > >
> > >>From: "Marinho Kamiroski" 
> > >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >>Subject: [obm-l] Arcos trigonom�tricos em PG
> > >>Date: Thu, 28 Sep 2006 18:16:46 +0000
> > >>
> > >>Alguem ae sabe como fazer o produt�rio de arcos em PG?,
> tipow
> > >>cos(a)*cos(aq)*cos(aq�)*...*cos[aq^(n-1)]
> > >>
> >