Re: [obm-l] Primo e divisor

["Ricardo Khawge" <soziwho@xxxxxxxxxxx>]

Creio que este inteiro deve dividir todos os p^4 - 1 simultaneamente, tal 
que
p � um primo maior 5. A  resposta de que este maior divisor seja o
pr�prio p^4 - 1 faz todo o sentido, por�m ele seria um valor vari�vel
dependente de p, e n�o um valor constante.


A solu��o que encontrei foi a seguinte:

Fatorando p^4 - 1, obtemos

p^4 - 1 = (p^2 + 1).(p^2 - 1) = (p^2 + 1).(p + 1).(p - 1)



Se p � primo maior que 5, ent�o necessariamente p � �mpar e (p^2 + 1) � um
m�ltiplo de 2, (p + 1) � um m�ltiplo de 2, e (p - 1) � um m�ltiplo de 2.
Logo, (p^4 - 1) � m�ltiplo de 23.



Ainda, dados tr�s n�meros consecutivos (p - 1), p, (p + 1), ent�o
necessariamente um deles � m�ltiplo de 3. Ent�o (p + 1) ou (p - 1) �
m�ltiplo de 3, pois p � primo. Logo, p^4 - 1 � m�ltiplo de 3.



E finalmente, todo inteiro � da forma 5.k, 5.k + 1, 5.k + 2, 5.k + 3, 5.k +
4. com k inteiro.

Como p � um primo maior que 5, p n�o pode ser da forma 5.k, por�m vamos
provar que para as outras formas, p^4 - 1 sempre � um m�ltiplo de 5. Vejamos
os outros casos:

Se p for da forma 5.k + 1, ent�o (p - 1) = (5.k + 1 - 1) = 5.k, torna p^4 - 
1
um m�ltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 2, ent�o (p2 + 1) = (25.k2 + 20.k + 4 + 1) = 5.(5.k2
+ 4.k + 1) = 5.k', torna p^4 - 1 um m�ltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 3, ent�o (p2 + 1) = (25.k2 + 30.k + 9 + 1) = 5.(5.k2
+ 6.k + 2) = 5.k', torna p^4 - 1 um m�ltiplo de 5.

Se p for da forma 5.k + 4, ent�o (p + 1) = (5.k + 4 + 1) = 5.k + 5 = 5.(k +
1) = 5.k', tamb�m torna p^4 - 1 um m�ltiplo de 5.

Logo, p^4 - 1 sempre ser� um m�ltiplo de 5.



Assim, como p^4 - 1 � m�ltiplo de 23, 3, 5 simultaneamente, ent�o p^4 - 1 �
m�ltiplo de

23 . 3 . 5 = 240 c.q.d.



Como contra-exemplo:

7^4 - 1 = (7^2 + 1).(7 + 1).(7 - 1) = 50 . 8 . 6 = 25 . 31 . 52

11^4 - 1 = (11^2 + 1).(11 + 1).(11 - 1) = 122 . 12 . 10 = 24 . 31 . 51 . 611

13^4 - 1 = (13^2 + 1).(13 + 1).(13 - 1) = 170 . 14 . 12 = 24 . 31 . 51 . 71 
.
171

17^4 - 1 = (17^2 + 1).(17 + 1).(17 - 1) = 290 . 18 . 16 = 26 . 32 . 51 . 291



De fato, o M.D.C.(7^4 - 1, 11^4 - 1, 13^4 - 1, 17^4 - 1) = 24 . 3 . 5 = 240.



Gostaria que voc�s verificasse se estes meus argumentos s�o plaus�veis.



>From: "Qwert Smith" <lord_qwert@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
>Date: Thu, 31 Aug 2006 16:45:51 -0400
>
>Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e 
>mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p 
>= -1 mod 3
>
>Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 
>= 30.
>
>Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):
>
>"p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que � (obviamente) divis�vel por 8"
>
>Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.
>
>"Mas na verdade p-1 ou p +1 s�o divis�veis por 4."
>
>Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.
>
>Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?
>
>>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
>>Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
>>
>>Oi,
>>
>>Voc� deve ter raz�o quanto � formula��o mas trivialmente sua solu��o pode 
>>ser melhorada para 120 (embora o m�rito seja seu), pois
>>
>>p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que � (obviamente) divis�vel por 8 e al�m 
>>disso, p-1 ou p+1 � divis�vel por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 s�o 
>>divis�veis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas tamb�m n�o sei como 
>>melhor�-la mais um pouquinho nem pouc�o...
>>
>>Abra�os,
>>Nehab
>>
>>At 12:47 31/8/2006, you wrote:
>>>Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
>>>formulada.
>>>
>>>Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
>>>resposta.
>>>
>>>Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
>>>qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10.
>>>
>>>p^4-1  = 0 mod 2
>>>p^4-1 =  0 mod 5
>>>ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) 
>>>= 1 mod p.
>>>
>>>Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
>>>certamente nao vai ser o maior divisor.
>>>
>>>
>>>>From: its matematico <matematica.italo@yahoo.com.br>
>>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
>>>>Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT)
>>>>
>>>>Acho q tenho uma solu��o razo�vel:
>>>>
>>>>   se p � primo e p>5 ent�o p � �mpar, sendo assim p^4 � �mpar, logo 
>>>>p^4-1 � par
>>>>   e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 �: (p^4-1)/2
>>>>
>>>>   Alguma obje��o � resposta???
>>>>
>>>>   Espero ter contribu�do...
>>>>   At� +,
>>>>   �talo
>>>>
>>>>Jo�o Lu�s Gomes Guimar�es <joaoluisbh@uol.com.br> escreveu:
>>>>   Se isso fosse uma quest�o de prova, eu responderia que o maior 
>>>>inteiro que
>>>>divide p^4 - 1 �...... p^4 - 1 !!!!! e ningu�m poderia colocar obje��o,
>>>>hehehehehe... mas � claro, apesar de n�o ter sido explicitado, que a 
>>>>solu��o
>>>>procurada exclui o pr�prio p^4 - 1.
>>>>
>>>>Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solu��o aqui e, 
>>>>se
>>>>a encontrar, posto depois.
>>>>
>>>>Abra�os,
>>>>
>>>>Jo�o Lu�s.
>>>>
>>>>
>>>>----- Original Message -----
>>>>From: "Ricardo Khawge"
>>>>To:
>>>>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
>>>>Subject: [obm-l] Primo e divisor
>>>>
>>>>
>>>> > Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e n�o conseguimos 
>>>>fazer
>>>> > um deles. Ele pediu ajuda mas ningu�m se interessou pelo problema, 
>>>>n�o sei
>>>> > se � por ser muito f�cil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando 
>>>>aqui
>>>> > e agradecemos qualquer colabora��o.
>>>> >
>>>> > "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p � um primo 
>>>>maior que
>>>> > 5."
>>>> >
>>>> > Tchau
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