[obm-l] Re: [obm-l] Série

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá,

bom, vc esta fazendo o seguinte:
criando um sequencia, tal que:

x_(n+1) = [ x_n + 5 ] / 2, onde x1 é o numero inicial....

vamos primeiramente supor que converge.. entao:
lim x_n = a

logo: lim x_(n+1) = lim [ x_n + 5 ] / 2 = [ lim x_n + 5 ] / 2 ... logo: a = 
(a + 5) / 2 ... a = 5!

legal.. agora só precisamos mostrar que a série converge...

se escolhermos um x1 = 5, está obvido que x_n é constante e igual a 5...

agora, se x1 > 5, temos que: 5 < x2 = (x1 + 5) / 2 < x1 .... 5 < x3 = (x2 + 
5) / 2 < x2 ...
assim, x_n é uma sequencia decrescente... logo, monótona...
mas... 0 < x_n <= x1 ........ logo, limitada... portanto: converge!

agora, se x1 < 5, temos que x1 < x2 = (x1 + 5) / 2 < 5 .... x2 < x3 = (x2 + 
5) / 2 < 5 ....
assim, x_n é uma sequencia crescente ... logo, monótona...
mas... x1 <= x_n < 5 ......... logo, limitada... portanto: converge!

bom, nao fui nada formal.. mas acho que isso é uma coisa tranquila de se 
mostrar...
basta saber que a media aritmetica de 2 numeros esta entre estes....

um abraço,
Salhab





----- Original Message ----- 
From: "Josh Rodrigues" <joshrodr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM
Subject: [obm-l] Série


> Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:
>
> "João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma 
> mesma seqüência de operações várias  vezes para ver o que acontecia. Uma 
> dessas experiências consistia em escolher um número x1  qualquer, somar 5 
> e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele 
> somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . 
> Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números
>
> x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn
>
> Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor 
> tivesse iniciado a seqüência de operações,
> João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que 
> número era esse?"
>
> É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria 
> de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, 
> mostrar que xn se aproxima sempre de 5.
>
> Muito obrigado pela atenção.
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