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Re: [obm-l] Questao de Triangulo



Satisfaz sim! É exatamente o tipo de solução que eu procurava, com retas mágicas e tudo. Maravilha!
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 23 Aug 2006 16:05:48 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Ola'  pessoal,
essa solucao aqui nao satisfaz pois usa mais de "uma reta magica"...mas ja' quebra um galho!

1) Trace a bissetriz do angulo C ate' encontrar o lado AB no ponto E.
2) Marque o ponto F sobre AC de modo que AD=AF.
Trace os segmentos DF e FE.

Como o angulo do vertice vale 100, entao os angulos da base valem 40 (angulos expressos em graus).
De (1) , podemos dizer que os angulos BCE=ECF=20.
Como BD=AC, entao (2) implica em  FC=AB , pois BD=AC . Portanto FC=BC, de onde os triangulos ECF e ECB sao simetricos. Logo o angulo EFC=100. Assim, os angulos FEC=CEB=60. Portanto, tambem o angulo DEF=60. Mas o triangulo DAF e' isosceles, com angulos da base 20 (pois o angulo FAE=40). Assim, o angulo DFE=20+80=100.
Portanto, os triangulos EFD e EFC sao simetricos (um lado comum entre 2 angulos iguais). Entao, DF=FC . Portanto o triangulo DCF e' isosceles, com angulos da base iguais a 10 (pois o angulo DFA=20).
Logo, o angulo DCA=10.

Abracos,
Rogerio Ponce


PS: Nehab, voce pode consultar a lista na web, no endereco
 http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.html
O unico detalhe e' que entre a entrega dos emails e a publicacao do mesmo assunto na lista online, ha' um delay de algumas horas.
Abracao,
Rogerio.

Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> escreveu:
Pois é, Claudio,

Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado.  Mas se você a encontrou, não faça cerimônia...  Adoro aprender..  Caso contrário, fica devendo...

Abraços,
Nehab

At 15:08 22/8/2006, you wrote:
E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo
> Oi, Palmerim,
>
> Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose
> de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente
> desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao
> naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar
> irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos...
>
> Vamos lah:
>
> Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei
> dos senos (no triangulo BDC), vem:
> (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X)
> Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo:
> (2) BD / BC = 2.cos 40;
> De (1) e (2) temos:
> (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao
> trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a
> lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica
> 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem:
> (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo,
> (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X)
> Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2
> .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos:
> 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X)
> sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus.
>
> Abracos,
> Nehab
>
> At 16:18 21/8/2006, you wrote:
> >
> >UFFA! Não consegui resover esta aqui:
> >
> >"ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a
> >100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD
> >seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD."
> >
> > Palmerim
>
agora!