RES: [obm-l] Numeros Irracionais

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Bom, peguei o bonde andando, já vi direto a dica do Cláudio.

Na base k, o próprio  k eh representado por 0 e 1/k = 0,1. Sendo m grau de
k, temos que p(n+1) - p(n) eh um polinomio de grau m-1 no qual o coeficiente
do termo lider é m. Assim, para n suficientemente grande, p(n+1)>0, p(n)>0 e
p(n+1) - p(n) >0. Além disto p(n+1) - p(n)  eh monotonicamente crescente.
Issoimplica que, na base k, SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) = R + 0,....1 +
0,.....1, sendo que, nos termos fracionarios, a "distância" entre a posição
do dígito 1 cresce monotonicamente. Desta forma, a representacao do limite L
da subserie (que existe, pela comparacao com a serie geometrica de razao
1/k) dos termos fracionarios eh infinita e nao periodica, o que siginfica
que L eh irracional. A série original converge entao para R + L, que eh
irracional.

Faltou formalizar um pouco melhor, mas acho que a ideia eh essa.

Uma dúvida: Éh necessario que p seja monico? Nao chegaremos aa mesma
conclusao se o coeficiente do termo lider for inteiro positivo?

Abracos

Artur  



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 22 de agosto de 2006 11:02
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais


Por enquanto, aqui vai uma dica: representacao em base k.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 21 Aug 2006 21:03:18 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais

> Claudio, pensei pensei  e nao consegui solução alguma.
> Você poderia compartilhar a sua ?
> 
> Júnior.
> 
> Em 20/08/06, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
> >
> > Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa...
> >
> > Prove que se k eh um inteiro >= 2 e p(x) um polinomio monico, de
> > coeficientes inteiros e grau >= 2, entao:
> > SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional.
> >
> > Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh
irracional,
> > qualquer que seja k > 1 (k inteiro).
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >



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