Re:[obm-l]

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Data:

Thu, 17 Aug 2006 14:16:11 -0300

Assunto:

[obm-l]

> Pessoal....

> Se definirmos M(k) = {[(a_1)^k + (a_2)^k + ... + (a_n)^k]/n}^(1/k) ou seja

> a média potencial de n números reais positivos com k real.

> Eu tava vendo aki que o lim[x->0] M(x) se torna a média geométrica,

> que deu pra demostrar com

> um modificação e l'hospital.. Porém não consegui demonstrar:

> a) lim[x-> -inf] M(x) = min{a_1,a_2,...,a_n}

> b) lim[x-> +inf] M(x) = max{a_1,a_2,...,a_n}

> onde min e max denotam o mínimo e máxim dos conjuntos respectivamente..

Suponhamos s.p.d.g. que a_1 <= a_2 <= ... <= a_n, de modo que:

min = a_1 e max = a_n.

No caso (b), faça b_i = a_i/a_n (i=1,...,n) ==> 0 < b_i <= 1.

Então M(x) = a_n*((b_1^x + b_2^x + ... + b_(n-1)^x + 1)/n)^(1/x)

Se x > 0, teremos 0 < b_i^x <= 1, para 1 <= i <= n-1, de modo que:

a_n*(1/n)^(1/x) < M(x) <= a_n*1^(1/x).

Fazendo x -> +infinito, obteremos:

a_n <= lim(x->+inf) M(x) <= a_n ==>

lim(x->+inf) M(x) = a_n.

No caso (a), faça y = -x e reduza ao caso (b), pois quando x -> -inf, y -> +inf. Nesse caso, fazendo c_i = 1/a_i (1<=i<=n), teremos:

c_1 = max(c_1, ..., c_n) =

max(1/a_1, ..., 1/a_n) =

1/min(a_1, ..., a_n) = 1/a_1

c_i^y = c_i^(-x) = (1/a_i)^(-x) = a_i^x ==>

N(y) = ((c_1^y + ... + c_n^y)/n)^(1/y) =

((a_1^x + ... + a_n^x)/n)^(-1/x) =

1/((a_1^x + ... + a_n^x)/n)^(1/x) = 1/M(x)

Como, pelo item (b), N(y) -> c_1 = 1/a_1, quando y -> +inf, teremos que:

1/M(x) -> 1/a_1 (e, portanto, M(x) -> a_1) quando x -> -inf.

[]s,

Claudio.