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Re: [obm-l] GENIALIDADE! - incompleto
Ola' pessoal,
a solucao do poliedro esta' incompleta: as DIMENSOES LINEARES (e nao a AREA) do octogono e' que seguem uma transicao linear, portanto a resposta nao e' a base media multiplicada pela altura.
Vou pensar mais um pouco e respondo.
Abracos,
Rogerio Ponce.
Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@yahoo.com.br> escreveu:
Ola' Jorge e colegas da lista,
o problema do tetraedro e' instigante, e bem que merecia uma resposta afirmativa. Imaginei que areas iguais determinariam volumes iguais. Mas depois de pastar um tempo tentando encontrar as (4) alturas determinadas pelas areas das faces, resolvi testar um contra exemplo bobo qualquer. E verifiquei que, infelizmente, areas iguais nao determinam volumes iguais. Segue o contra exemplo:
Tome a seguinte base no plano x,y: (0,0)
(8,0) (4,1)
e o vertice x,y,z do tetraedro em (4,1,sqrt(12/5) )
Altere a base para (0,0) (4,0) (2,2) , e recoloque
o novo vertice x,y,z da piramide em (2,3,sqrt(23/5) )
Verifique que todas as faces correspondentes continuaram com mesma area, mas a altura do vertice da piramide mudou. Portanto, os volumes sao diferentes.
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O problema do poliedro e' resolvido facilmente se projetarmos todas as arestas no plano horizontal , alem da intersecao com um plano horizontal qualquer entre as 2 bases. Facilita bastante, sem perda de generalidade, consideramos a projecao de uma das bases totalmente contida pela projecao da base maior.
Nessa situacao (i.e., olhando a projecao das arestas), qualquer corte do poliedro por um plano horizontal determina um octogono cujas arestas "caminham" sobre triangulos de forma proporcional `a altura do corte. O resultado e' que esse octogono tem uma area total governada por uma
transicao linear entre as areas das 2 bases quadradas, independentemente da rotacao relativa entre as bases (ou do posicionamento dos centros) .
Assim, o volume do poliedro e' sempre a media das areas dos quadrados (bases) multiplicada pela distancia vertical entre as bases (i.e., pela altura do poliedro).
Abracos a todos,
Rogerio Ponce
Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis <jorgelrs1986@hotmail.com> escreveu: ...
Se as áreas das faces de um tetaedro são as mesmas de outro tetaedro, então
eles têm mesmo volume?
Um poliedro tem duas faces paralelas, que chamarei de bases. Essas bases são
quadrados, mas os lados de uma não são paralelos aos lados da outra. Todas
as outras faces, que chamarei de faces laterais, são triângulos. Conhecendo
os lados das bases e a distãncia entre os planos das bases,
é possível
calcular o volume desse poliedro? Se fizermos uma translação de uma das
bases em um plano paralelo à outra, o volume se modifica? Se uma das bases,
mantendo-se em seu plano, girar em torno de seu centro, o volume se
modifica?
Abraços e bom proveito!