> Olá amigos, gostaria de saber qual a condição necessária para que um determinado elemento de um grupo cíclico possa ser gerador ?
a eh gerador do grupo ciclico G <==> ordem de a = ordem de G
. Pergunto isso afim de resolver o seguintes problemas:
>
> 1) Sejam A =<a>, B = <b>, C = <c> e D = <d> os grupos cíclicos de ordens 6, 8, 12 e 20 respectivamente. Determinar todos os geradores destes grupos.
a gera <a> ==> a^r gera <a> para todo r primo com |<a>|.
Logo, os geradores do grupo ciclico de ordem 6 sao a e a^5, os do de ordem 8 sao a, a^3, a^5 e a^7, etc...
>
> 2) Determinar todos os geradores do subgrupo de ordem 6 e do subgrupo de ordem 8 do grupo cíclico de ordem 24.
>
Suponhamos que |<a>| = 24
Entao, o subgrupo de ordem 6 eh {e,a^4,a^8,a^12,a^16,a^20} e os geradores sao a^4 e a^20.
O subgrupo de ordem 8 eh {e,a^3,a^6,a^9,a^12,a^15,a^18,a^21} e os geradores sao a^3, a^9, a^15 e a^21.
[]s,
Claudio.