Re: [obm-l] Diferenciabilidade e condicao de Lipschitz

["niski lista" <niskilista@xxxxxxxxx>]

Artur pra voce uma funcao diferenciavel é uma funcao C^1 ? Se sim
basta que a derivada de f nao seja limitada para que ela nao seja de
Lipschitz..
De fato, suponha f Lipschitz com constante M. Supondo que nao a
derivada de f nao seja limitada existe x0 \in I tal que |f'(x0)| > 2M.
Tome uma pequena vizinhanca aberta V de x0 e por continuidade temos
que para qualquer x \in V |f'(x)| > 2M. Tome x1 \in V , x1 != x0.
Usando o teorema do valor medio, existe um c \in V tal que
f(x1) - f(x0) = f'(c)(x1 - x0).
Se f for suposta Lipschitz, temos
2M|x1 - x0| < |f'(c)||x1 - x0| = |f(x1) - f(x0)| <= M |x1 - x0|
Assim 2M < M.

Um exemplo de uma funcao desse tipo é
x |--> 1/x em (0,1)
ou
x |--> x*sin(1/x)  em (0,1)

On 7/11/06, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> Acho esta demonstracao interessante:
>
> Sejam I um intervalo aberto de R e f:I->R uma funcao diferenciavel. Existe,
> entao, um subintervalo de I no qual f satisfaz aa condicao de Lipschitz.
>
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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