RES: [obm-l] Pontos de acumulacao

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na realidade, no problema da mensagem original, a hipotese de A seja finto e
limitado nao faz diferenca. O enunciado poderia ser o seguinte: 

Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de acumulacao A_0 = A e seja A_1
o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o conjunto dos
pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma sequencia de
conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de acumulacao de A_(k-1).

Se, para algum k, A_k for vazio, entao isto implica que A eh enumeravel?

Esta eh de fato a questao que conta. Se A for enumeravel, nao precisamos ter
A_k = vazio para algum k, basta tomar os racionais, como o Claudio lembrou.

Eu acho que a resposta para a questao acima eh sim. Parece mais facil
demonstrar a contrapositiva. Dizemos que a (pertencente ou nao a A) eh ponto
de condensacao de um conjunto A se toda vizinhanca de a contiver uma
quantidade nao enumeravel de elementos de A. Assim, todo ponto de
condensacao de A eh ponto de acumulacao de A'.  Sabemos que, se A nao for
enumeravel, entao A tem pontos de condensacao (e tem pontos de condensacao
que pertencem a A). Sabemos ainda que o conjunto dos pontos de condensacao
de um conjunto nao enumeravel tambem nao eh enumeravel. Assim, no caso, A_1
contem os ponto de condensacao de A e, desta forma, A_1 nao eh enumeravel e,
portanto, nao eh vazio. Por inducao, concluimos que, para todo k, A_k nao eh
enumeravel e, portanto, nao e vazio. 

Artur    



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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