RES: [obm-l] Cj. Cantor

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem esclarecesse algumas
duvidas, fiquei um tanto confuso:

A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou medida exterior, nao estou
certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de R^n  eh H_d(A)eh a sua
medida d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de Hausdorff D(A) eh
definida por infimo{d >=0 | H_d(A) >0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma
extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes (volume,
aqui, no sentido geral) dos conjuntos da cobertura, tomam-se as potências d
deste volumes, limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r>0 e ,
depois , tomando-se o infimo em r>=0 desta somas de potencias d dos volumes.
Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?
Se H_d(A) < oo, entao H_p(A) = 0 para p >d e H_p(A) = oo para 0<= p <d. Eh
isso mesmo?  

O Gugu dise  que existe um conjunto de cantor K com dimensao de Hausdorff
nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto implica que, em R^n, eh
possivel que um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que, ainda assim,
A- A contenha uma bola, certo?

Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva (compacto ou nao),
entao A - A contem uma bola centrada na origem e A + A contem uma bola em
algum lugar, certo?

Existe o classico conjunto de Cantor, obtido removendo-se sucessivamente
tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em "conjuntos de Cantor", logo existem outros
que ateh podem conter intervalos. Como sao construidas estas generalizacoes
do conjunto basico de Cantor?

Obrigado

Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de gugu@impa.br
Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
Para: Nicolau C. Saldanha
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor


    Oi Nicolau,
    Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira: 
é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de 
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz, 
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria 
(aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos de Cantor 
dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe 
C^(1+d), com d>0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de 
Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro 
lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados" (por exemplo 
dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K 
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para 
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é 
menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de 
Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo.
    Abraços,
               Gugu

Quoting "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>:

> On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
>> Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
>> conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
>> Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
>> reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
>> 1], que eh uma bola em R centrada na origem.
>
> Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a,
> 0 < a < 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto
> A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem.
> Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale
> este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
>
> Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1;
> a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
> é log 2/log 3 ~= 0.63.
>
> []s, N.
>



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