Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor

[gugu@xxxxxxx]

    Oi Nicolau,
    Na verdade, estritamente falando, a sua afirma��o n�o � verdadeira: 
� poss�vel exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimens�o de 
Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz, 
no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria 
(aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos de Cantor 
dinamicamente definidos por fun��es expansoras (pelo menos de classe 
C^(1+d), com d>0; para C^1 � genericamente falso) K com dimens�o de 
Hausdorff maior que 1/2 � tal que K-K tem interior n�o-vazio. Por outro 
lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados" (por exemplo 
dinamicamente definidos) K com dimens�o de Hausdorff menor que 1/2, K-K 
tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para 
conjuntos bem-comportados, coincide com a dimens�o de Hausdorff) de K � 
menor que 1/2. Por outro lado � poss�vel construir um conjunto de 
Cantor K na reta com domens�o de Hausdorff 0 tal que K-K � um intervalo.
    Abra�os,
               Gugu

Quoting "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>:

> On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
>> Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
>> conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
>> Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
>> reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
>> 1], que eh uma bola em R centrada na origem.
>
> Novamente, o Gugu � a autoridade no assunto, mas existe um n�mero a,
> 0 < a < 1, tal que se a dimens�o de Hausdorff de um subconjunto compacto
> A de R � maior do que a ent�o A-A contem uma bola centrada na origem.
> Infelizmente eu n�o sei qual � o menor valor de a para o qual vale
> este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
>
> Se A tem medida positiva sua dimens�o de Hausdorff � 1;
> a dimens�o de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
> � log 2/log 3 ~= 0.63.
>
> []s, N.
>



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