Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao  seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado. 
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
existem um aberto V em X e  M>0 tais que ||f[n](x|| <
M para todo natural n e todo x em V.

Artur

--- niski lista <niskilista@gmail.com> wrote:

> Assim,
> Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
> F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> infinito, nos naturais.
> O teorema de baire garante que para algum desses
> F[K] tem possui um
> subconjunto aberto de interior nao vazio.  Seja F[M]
> este conjunto.
> Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
> vazio um intervalo
> I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
> todo x em I, vale
> que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> On 6/28/06, Mouse <mouse@ajato.com.br> wrote:
> > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na
> Lista. Sou engenheiro
> > de formação mas há algum tempo venho estudando
> análise matematica por
> > hobby.
> > Este problema que estou enviando para a lista é do
> livro de Walter
> > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> capitulo 5, acredito que
> > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> entao vou deixar o
> > enunciado na forma original.
> >
> > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> functions on the line which
> > converges at every point. Prove that there is an
> interval I and a number
> > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I
> and n = 1,2,3,... "
> >
> >
> > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> conhece a solucao ou pode
> > enviar para discutirmos?
> >
> > Um abraço a todos!
> >
> > Mouse
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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