[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 28 Jun 2006 23:24:48 -0300
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série

> Olá Claudio,
> nao analisei sua demonstracao, mas segue a minha:
> 
> Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 > 0, assim: a_n^2 - a_n/n + 1/n^2 > 0, logo: a_n/n < a_n^2 + 1/n^2
> como SOMA(a_n^2) converge e SOMA(1/n^2) converge, entao, sua soma converge.
> pelo teste da comparacao, SOMA(a_n/n) converge.
> 

Isso mesmo, sendo que a consequencia de (a_n - 1/n)^2 >= 0 eh, de fato:
a_n/n <= (1/2)*(a_n^2 + 1/n^2).

Tambem eh interessante notar que a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/log(n)^2
Entao, SOMA a_n/n = SOMA 1/(n*log(n)^2) converge (teste da integral) 
mas SOMA a_n^2 = SOMA 1/log(n)^4 diverge.

***

Outro problema interessante do mesmo capitulo do Elon eh: 
Provar que se (a_n) eh decrescente e SOMA a_n converge entao n*a_n -> 0.

Mais uma vez a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/(n*log(n)).
A condicao de a_n ser monotona tambem eh essencial. Tome a_n = (-1)^(n)/n.

[]s,
Claudio.

> vou analisar agora sua solucao, se eu encontrar o erro mando em outro e-mail.
> 
> abraços,
> Salhab
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: claudio.buffara 
>   To: obm-l 
>   Sent: Wednesday, June 28, 2006 5:46 PM
>   Subject: [obm-l] Convergência de Série
> 
> 
>   Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada.
>   O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução correta.
> 
>   Seja (a_n) uma sequência de números reais.
>   Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também converge.
> 
>   Solução errada:
>   Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0 então (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.
>   Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==> 
>   a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>
>   SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
>   SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.
> 
>   []s,
>   Claudio.
> 
> 


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