Re:[obm-l] Determinante, gemoetria

Considerando o círculo inscrito em ABC, de raio r, é fácil provar que:

ctg(A/2) = (c+b-a)/(2r), ctg(B/2) = (a+c-b)/(2r) e ctg(C/2) = (a+b-c)/(2r).

Seja D o valor do determinante.

Multiplicando a 1a. linha do determinate por 2r, você obtem um outro determinante igual a:

(c+b-a) (a+c-b) (a+b-c)

a b c

1 1 1

e cujo valor é igual a 2r*D.

Agora, subtraindo a 1a. coluna das outras duas, obtemos o determinante:

(c+b-a) 2(a-b) 2(a-c)

a (b-a) (c-a)

1 0 0

cujo valor ainda é 2r*D.

Mas esse determinante é igual a:

2(a-b)(c-a) - 2(a-c)(b-a) = 0

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Mon, 26 Jun 2006 18:48:01 -0300

Assunto:

[obm-l] Determinante, gemoetria

> Olá, pessoal.

> Estou com dúvida na seguinte questão do livro Iezzi/Hazzan 4 (D.250):

> Provar que:

> | cotg(A/2) cotg(B/2) cotg(C/2) |

> | a b c | = 0

> | 1 1 1 |

> sendo A, B, C, ângulos de um triângulo e a, b, c os lados

> respectivamente, opostos aos mesmos ângulos.

> André FS

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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