Re: [obm-l] Calculo Numerico.

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Esse número é a única solução real da equação x = cos(x).

 

Ele aparece pela seguinte razão:

Dado x(1) qualquer, x(2) = cos(x(1)) pertence ao intervalo [-1,1] e, portanto, x(3) = cos(x(2)) pertence a [cos(1),1].

 

No intervalo [cos(1),1], a função cos(x) é estritamente decrescente, e sua derivada (igual a -sen(x)) é tal que:

-1 < -sen(1) < -sen(x) < -sen(cos(1)) < 0.

Em particular, para x nesse intervalo, |sen(x)| <= sen(1) < 1.

 

Pelo TVM, temos que, dados a e b tais que:

cos(1) <= a < b <= 1,

existe c pertencente ao intervalo (a,b) tal que:

cos(b) - cos(a) = -sen(c)*(b - a) ==>

|cos(b) - cos(a)| = |sen(c)|*|b - a| <= sen(1)*|b - a| ==>

cos(x) é uma contração em [cos(1),1] ==>

cos(x) tem um único ponto fixo nesse intervalo, digamos h, tal que cos(h) = h e a relação de recorrência x(n+1) = cos(x(n)) converge para h, qualquer que seja o valor inicial x(1), já que, como vimos acima, x(3) pertence ao intervalo [cos(1),1].

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 27 Jun 2006 16:49:50 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] Calculo Numerico.

Apenas por curiosidade, empiricamente deu este numero 
(um programa Python é bem útil nestas horas :P)

0,73908513321516064165531208767387

> Em 27/06/06, fabbez@zipmail.com.br <fabbez@zipmail.com.br> escreveu:

Favor quem pode me ajudar com esta questão.

Em uma calculadora cientifica, ajuste a medida de ângulos como sendo radianos
e digite aleatoriamente um número qualquer. Pressione a tecla da função
cosseno varias vezes (no mínimo 20 vezes). Com isso, não importa qual tenha
sido o numero digitado aleatoriamente no inicio, a seqüência de números
que vão aparecendo no visor á medida que a tecla da função cosseno é pressionada
converge sempre para o mesmo numero.

Identifique que número é esse e por qual motivo ele sempre aparece.

Obrigado.