RES: [obm-l] Primos gemeos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Legal.
Eu fiz algo na mesma linha, embora acho que menos interessante.  Eh facil
ver que, se n >4 e n estah entre 2 primos gemeos, entao n eh multiplo de 6.
De fato, n tem que ser par e, dentre os numeros n-1, n e n+1, um e somente
um eh multiplo de 3. Como n-1 e n+1 sao primos e maiores que 3, eles nao sao
multiplos de 3, de modo que n, alem de par, eh multiplo de 3. Logo, n eh
multiplo de 6.

Conforme mostrado, a^p - a eh multiplo de 3 para p impar. Logo, a^p - a + 1
nao eh multiplo de 3, o que implica que 2(a^p - a + 1) nao seja multiplo de
6. Assim, esta expressao so serah  um numero ensanduichado entre 2 primos
gemeos se der 4, o que vemos facilmente que nao ocorre. 

Baseados nestes argumentos, podemos tambem resolver outro problema que me
foi proposto: mostrar em ateh 10 segundos que numero 3.735.102.726.532 nao
esta entre 2 primos gemeos

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 1 de junho de 2006 09:49
Para: obm-l
Assunto: Re:[obm-l] Primos gemeos


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 31 May 2006 19:36:57 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Primos gemeos

> Este problema que me foi proposto me pareceu
> interessante:
> 
> Mostre que, se a e p forem inteiros positivos com p
> impar, entao o numero 2(a^p - a + 1) nunca estah
> compreendido entre 2 primos gemeos.
> 
> Artur
> 
> 

Como p eh impar a^p - a eh sempre divisivel por 3, pois:
a == 0, 1, 2 (mod 3) ==> a^p == 0, 1, 2 (mod 3).
Logo, 2(a^p - a) + 3 eh multiplo de 3 e soh serah primo se a^p = a.
Mas nesse caso, 2(a^p - a) + 1 = 1, que nao eh primo.

[]s,
Claudio.



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