Re: [obm-l] Primos gemeos

[levi queiroz <lqzmatematica@xxxxxxxxxxxx>]

Ol� pessoal da lista! Segue uma poss�vel demonstra��o do problema proposto.

 

Fica convencionado para n�s que o simbolo " # " � equivalente ao da congruencia modulo que aprendemos  em teoria dos numeros. Assim por exemplo  5 # 11 (mod 3 ), quer dizer  5 � congruente 11 modulo 3 , ou ainda 3 divide ( 11 - 5 ). Certo!

 

 ( 1 )Vamos supor que b e b+2 sejam primos gemeos ( para b >3 ) ent�o � f�cil ver que o numero inteiro  b + 1 � divisivel por 6.

( 2 ) Tamb�m � de facil demonstra��o  que se p � inteiro impar ent�o 2^p - 1 n�o � divisivel por 3.

 

(3 ) Vamos supor por absurdo que para um a e p inteiros, com p impar, tenhamos  o numero 2( a^p - a + 1 ) compreendido entre dois primos gemeos.Logo por ( 1 )  6 divide 2( a^p -a +1 ), da� 3 divide ( a^p - a +1 ) ou ainda , a^p -a +1 # 0 (mod 3 ).

1� CASO:a # 0 (mod 3 ).

 Da� pela propriedade de congruencia temos que a^p # 0 ( mod 3 ), logo

 a^p - a +1# 1 - a ( mod 3 ). Como  por ( 3 ) a^p - a + 1 # 0 ( mod 3 ), ent�o

1 - a # 0 ( mod 3 ), segue que a # 1 ( mod 3 ). Contradi��o!

 

2 � CASO : a # 1 ( mod 3 ).

Dai  a^p # 1 ( mod 3 ). Ent�o a^p - a + 1# 1- a + 1 ( mod 3 ), como por (3)

a^p - a + 1 # 0 ( mod 3 ), segue que 1 - a + 1 # 0 ( mod 3 ). Da� a # 2 ( mod 3 ), contradi��o!

 

3� CASO: a # 2 ( mod 3 ).

Logo a^p # 2^p ( mod 3 ). Ent�o  a^p - a + 1 # 2^p - a + 1 ( mod 3 ), como por ( 3 ) temos que a^p - a +1 # 0 ( mod 3 ), concluimos que 2^p - a + 1 # 0 ( mod 3 ). Da� 2^p + 1 # a ( mod 3 ) , mas por hipotese a # 2 ( mod 3 ), ent�o

2^p + 1 # 2 ( mod 3 ). Logo 2^p - 1 # 0 ( mod 3 ), contradi��o por causa de ( 2 ).

Creio que esta demonstra��o � verdadeira. Espero resposta.

Segue uma prova da afirma��o ( 2 ) : 

 

2 # -1 ( mod 3 ), ent�o 2^p # ( - 1 )^p ( mod 3 ). Da� 2^p # - 1 ( mod 3 ), portanto

2^p -1 # - 2 ( mod 3 ). Segue ent�o que 3 n�o divide 2^p - 1.

ATENCIOSAMENTE,

LEVI DE QUEIROZ

VALEU PESSOAL!!!!

Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com> escreveu:

> Este problema que me foi proposto me pareceu
> interessante:
>
> Mostre que, se a e p forem inteiros positivos com p
> impar, entao o numero 2(a^p - a + 1) nunca estah
> compreendido entre 2 primos gemeos.
>
> Artur
>
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