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Re: RES: RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Olá pessoal,
Obrigado pelas respostas! Eu pessoalmente não gosto de combinatória, é
um defeito meu. Na época do vestibular desisti de estuda-la e nunca mais
respondi sequer uma questão de combinatória. Quem sabe um dia eu volte a
estudá-la a fundo... Mas gosto é algo subjetivo! Sempre busco soluções
por transformações entre geometria e álgebra, principalmente porque
tenho um certo talento com isso. :)
Fico agradecido pelas respostas. Elas serão de muita utilidade para um
trabalho que pretendo escrever sobre esse assunto!
Bruno Bonagura
Artur Costa Steiner escreveu:
> Eu tambem acho que solucoes combinatorias sao mais bonitas. A
> igualdade (1+ 2....+n)^2 = 1^3 + 2^3 ....+ n^3 sempre me fascinou.
> Serah que existye uma formula fechada para 1^p + 2^p....=n^p para p
> real, p>=1?
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]*Em nome de *claudio.buffara
> *Enviada em:* terça-feira, 9 de maio de 2006 10:40
> *Para:* obm-l
> *Assunto:* Re:RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
>
> Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
>
> Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos
> pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x > y e x > z?
>
> Solução 1:
> Para x = k+1 (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k
> escolhas para z. Logo, existem k^2 ternos da forma (k+1,y,z) nas
> condições do enunciado.
> Fazendo k variar de 1 a n, obtemos que o número total de ternos é:
> 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.
>
> Solução 2:
> Os ternos (x,y,z) com x > y e x > z são de três tipos:
> 1. Ternos em que x > y > z
> 2. Ternos em que x > z > y
> 3. Ternos em que x > y = z.
> Existem Binom(n+1,3) ternos dos tipos 1 e 2 e Binom(n+1,2) ternos
> do tipo 3.
> Logo, o número total de ternos é 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
> 2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
> n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
> n*(n+1)*(2n-2+3)/6 =
> n*(n+1)*(2n+1)/6
>
> Como ambas as soluções têm que dar o mesmo resultado...
>
> ***
>
> Pra soma dos cubos, teríamos que considerar as quádruplas
> ordenadas (x,y,z,w) de elementos de {1,2,...,n,n+1} tais que x >
> y, x > z e x > w.
>
> Na solução 2, os tipos básicos de quádrupla seriam:
> 1. x > y > z > w (total de 6 permutações de y, z e w)
> Contribuição = 6*Binom(n+1,4)
> 2. x > y = z > w (total de 3)
> Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
> 3. x > y > z = w (total de 3)
> Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
> 4. x > y = z = w (total de 1)
> Contribuição = Binom(n+1,2)
>
> Total = 6*(Binom(n+1,4) + Binom(n+1,3)) + Binom(n+1,2) =
> 6*Binom(n+2,4) + Binom(n+1,2) =
> 6*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24 + (n+1)*n/2 =
> (n+1)*n/2 * ((n+2)*(n-1)/2 + 1) =
> n*(n+1)/2 * (n^2 + n - 2 + 2)/2 =
> n*(n+1)/2 * n*(n+1)/2 =
> n^2*(n+1)^2/4
>
> No entanto, será que o fato de ser:
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2
> não dá margem a alguma demonstração geométrica?
>
> []s,
> Claudio.
>
> *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>
> *Cópia:*
>
> *Data:* Mon, 8 May 2006 16:01:17 -0300
>
> *Assunto:* RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
>
> > Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação
> cuidadosa.
> >
> > Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p
> inteiro, dos n
> > primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k) =
> > p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton, temos:
> >
> > (n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) ....+Bin(p,k)n^k ...+ 1
> > (n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1
> > .
> > .
> > (1+ 1)^p n = 1 + p....+ Bin(p,k)......+1
> >
> > Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes
> algebricas um
> > tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a
> formula das
> > potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das
> potencias p
> > eh dada por um polinomio em n do grau p+1.
> > Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar, podemos
> > generalizar este processo para obter a formula da soma das
> potencias de
> > ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica.
> >
> > Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1
> em n ( que
> > pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos
> coeficientes do
> > polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de
> equacoes
> > lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia.
> >
> > De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3)
> = (S(n,1))^2
> > = (n*(n+1)/2)^2
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> > nome de Bruno Bonagura
> > Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
> >
> >
> > Olá pessoal,
> >
> > Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua
> > fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal
> > fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava
> frequentemente
> > no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito
> alguns
> > fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e
> sempre que
> > era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que
> > utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei
> muita
> > atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela.
> >
> > Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos
> azuleijos do
> > banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei
> se já
> > foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem
> consultar
> > algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem
> > possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na
> > literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no
> meu blog
> > (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título "Empilhando
> > quadrados".
> >
> > Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista
> apenas
> > para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu
> intuito é
> > compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a
> coloco
> > diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a
> > envolvem.
> >
> > Bruno Bonagura
> >
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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