RES: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação cuidadosa.

Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p inteiro, dos n
primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k) =
p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton, temos:

(n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) ....+Bin(p,k)n^k ...+ 1 
(n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1 
.
.
(1+ 1)^p n = 1 + p....+  Bin(p,k)......+1

Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes algebricas um
tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a formula das
potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das potencias p
eh dada por um polinomio em n do grau p+1.
Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar, podemos
generalizar este processo para obter a formula da soma das potencias de
ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica. 

Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1 em n ( que
pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos coeficientes do
polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de equacoes
lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia. 

De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3) = (S(n,1))^2
= (n*(n+1)/2)^2

Artur

 


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Bruno Bonagura
Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais


Olá pessoal,

Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua 
fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal 
fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava frequentemente 
no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns 
fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre que 
era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que 
utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita 
atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela.

Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do 
banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já 
foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar 
algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem 
possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na 
literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog 
(http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título "Empilhando 
quadrados".

Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista apenas 
para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito é 
compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a coloco 
diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a 
envolvem.

Bruno Bonagura

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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