RE: [obm-l] perimetro minimo

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Srs,
 '>'
 '>'Favor criticar (v�lidar ou n�o) o recioc�nio abaixo
 '>'
 '>'a) para termos o menor per�metro no quadril�tero xyzw significa que
 '>'� �rea dos quatros tri�ngulos
 '>'      restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser m�ximas. Para isso 
as
 '>'hipotenusas devem saer m�ximas o que ocorre quando cada cateto = l/2
 '>'(l=lado do quadrado original).
 '>'                      2       2
 '>'b) h=sqrt((l/2) +(l/2)   = 1/2*sqrt(2)*l
 '>'
 '>'per�metro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l

Ol�, Rodrigo. Este racioc�nio est� errado primeiro pelo fato de que existem
infinitos quadril�teros XYZW com v�rtices em ABCD com per�metro 2*sqrt(2)*l,
e consequentemente os tri�ngulos exteriores podem ser um pouco diferentes
dos que voc� sugeriu. Para todo s tal que 0 < s < l, considere o quadril�tero
XYZW caracterizado por AX = AW = CY = CZ = s. O per�metro de todos eles
� 2*sqrt(2)*l. O que � verdade � que a �nica possibilidade para estes tri�ngulos
exteriores � que eles sejam is�sceles, logo essa parametriza��o via s pega
todos os quadril�teros poss�veis que minimizam o per�metro.

Al�m disso, a �rea dos tri�ngulos de fora nada t�m a ver com o per�metro
de ABCD. Se voc� acreditou no que eu escrevi, ent�o para XYZW minimizando
o per�metro, temos que a soma das �reas dos tri�ngulos de fora � 2*s^2 -
2*l*s + l^2 = 2*(s - l/2)^2 + l^2/2. Portanto, essas �reas podem assumir
todos os valores entre l^2/2 e l^2 (mas n�o podem se igualar a nenhum deles).

[]s,
Daniel



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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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