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[obm-l] RE: solucao IME
Ola sergio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Ola Sergio. Demorei a postar a solucao porque antes tive que escrever de
forma clara. Percebo duas maneiras de fazer. Vou apresentar a que me parece
mais clara.
Esta solucao usa metodos das Geometrias Euclidiana e Analitica.
IMAGINE dois circulos C1 e C2 tais que a distancia entre os seus centros e
"d". C1 tem raio "a" e seu centro esta na origem O=(0,0) de um sistema de
coordenadas cartesiana. C2 tem raio "b" e seu centro esta no ponto
D=(0,-d). Dado que estes circulos precisam ser distintos e exteriores, vamos
supor : "a > b" e "d > a+b".
Nao vamos perder tempo com coisas excessivamente triviais. Assim : e facil
perceber duas coisas acerca da parabola que procuramos : o seu eixo de
simetria esta contido na reta "e" determinada pelos dois centros dos
circulos e a equacao Y=f(X) que a caracteriza tem minimo, vale dizer, ela e
convexa. Segue daqui que se "p" e o parametro e "q" a ordenada do vertice, a
equacao da parabola tem a forma :
2p( Y - q ) = X^2 => Y = ( (X^2) / (2p) ) + q EQUACAO PARABOLICA
Note que o problema consiste em encontrar "p" e "q". Note tambem que e facil
encontrar a equacao da tangente a parabola num ponto arbitrario (X0,Y0).
Verifique que ela tem a forma :
Y = (X0 / p)*X + ( q - ( (X0^2) / 2p ) ) EQUACAO 1
Agora, seja K < b um real positivo e S1 e S2 duas secantes tais que :
A) S1 nao cruza o segmento OD, intercepta a reta "e" no ponto E, determina
em C1 e C2 respectivamente as cordas T11 e T12, ambas de mesmo comprimento
2K e forma com o eixo OX um angulo agudo.
B) S2 cruza o segmento OD no ponto F, determina em C1 e C2 respectivamente
as cordas T21 e T22, ambas de mesmo comprimento 2K e forma com o eixo OX um
angulo agudo.
OBS : A exigencia de "formar com o eixo OX um angulo agudo" e para evitar
ambiguidades ... de fato, verifique que se a retirarmos haverão duas retas -
simetricas em relacao a reta "e" - atendendo A) e duas atendendo B).
SECANTE S1
Seja G o ponto onde a perpendicular a T11 tracada por O intercepta T11 e H o
ponto onde a perpendicular a T12 tracado por D intercepta T12. Com esta
construcao, e facil ver que :
(a - OG)(a + OG) = (T11/2)^2 => a^2 - (OG)^2 = K^2 => OG =
raiz_qua( a^2 - K^2 )
(b - DH)(b + DH) = (T12/2)^2 => b^2 - (DH)^2 = K^2 => DH =
raiz_qua( b^2 - K^2 )
Os triangulos DHE e OGE sao claramente semelhantes. E facil que o angulo GOE
e igual ao angulo que a secante S1 forma com o eixo OX e que o cosseno do
angulo GOE = cos(GOE) = (OG - DH) / d. Daqui segue imediatamente que :
tangente de GOE = tg(GOE) = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
PARAMETRO 11
Seja agora DE = z. A semelhanca de triangulos mencionada acima nos permite
escrever : DH/OG = z/(z+d). Daqui segue imediatamente que :
z + d = ( OG*d ) / (OG - DH ) PARAMETRO 12
Os parametros 11 e 12 nos permitem escrever a equacao reduzida da secante S1
:
Y = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG - DH )
EQUACAO 2
Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a EQUACAO 2
chegamos a conclusao que deve existir na parabola um ponto ( X0,Y0 ) tal que
:
X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG - DH )
Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
EQUACAO FUNDAMENTAL 1
SECANTE S2
Seja M o ponto onde a perpendicular a T21 tracada por O intercepta T21 e N o
ponto onde a perpendicular a T22 tracado por D intercepta T22. Com esta
construcao, e facil ver que :
(a - OM)(a + OM) = (T21/2)^2 => a^2 - (OM)^2 = K^2 => OM =
raiz_qua( a^2 - K^2 ) = OG
(b - DN)(b + DN) = (T22/2)^2 => b^2 - (DN)^2 = K^2 => DN =
raiz_qua( b^2 - K^2 ) = DH
Os triangulos DNF e OMF sao claramente semelhantes. E facil que o angulo MOF
e igual ao angulo que a secante S2 forma com o eixo OX e que se fizermos OF
= z, a semelhanca destacada nos permite escrever : OM/DN = z/(d-z). Daqui
segue imediatamente que :
z = OF = (OM*d) / ( DN + OM ) = (OG*d) / (OG + DH ) PARAMETRO 21
Por outro lado, cos(MOF) = OM / OF => cos(MOF) = (OG + DH ) / d. Daqui
segue imediatamente que :
tangente de MOF = tg(MOF) = raiz_qua{ [d / (OG + DH)] ^2 - 1 }
PARAMETRO 22
Os parametros 21 e 22 nos permitem escrever a equacao reduzida da secante S2
:
Y = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG + DH )
EQUACAO 3
Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a EQUACAO 3
chegamos a conclusao que deve existir na parabola um ponto ( X0,Y0 ) tal que
:
X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }
q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG + DH )
Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH ) EQUACAO
FUNDAMENTAL 2
FINAL
Agora basta juntar as equacoes fundamentais 1 e 2 :
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH )
Temos um sistema linear de duas equacoes a duas incognitas. Resolvendo-o,
verifique que acharemos :
p = ((OG^2) - (DH^2 )) / d = (a^2 - b^2) / d
q = - ( d^2 + (OG^2 - DH^2)) / d = - (d^2 + a^2 - b^2 ) / d
Substituindo "p" e "q" na EQUACAO PARABOLICA acima teremos a parabola que
procuramos.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
7,1220,060506
>From: Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br>
>To: Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com>
>Subject: RE: solucao IME
>Date: Thu, 4 May 2006 15:43:06 -0300 (BRT)
>
>
>oi Paulo,
>Aqui vai:
>IME 1982/1983, geometria, 7a questao:
>Dados dois circulos externos de raios distintos,
>mostre que o conjunto de secantes que determinam
>em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
>secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
>
>A unica coisa que consegui ateh agora eh que pela
>pela simetria do problema, o eixo de simetria da parabola
>e' a reta que une os centros dos circulos.
>
>Abraco,
>sergio
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