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[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função



Com relação a este assunto que o Alencar levantou, eh interessante observar que a condicao que citei e que garante a diferenciabilidade, ainda hoje nao parece ser muito conhecida. A maioria dos livros - destacando-se o do a grande Bartle (infelizmente falecido em 2003) - e, creio eu, tambem odo Rudin, assumen continuidade de todas as derivadas parciais em uma bola aberta contendoo ponto em questão. Entretanto, Apostol, em seu livro Real Analysis, mostra que que, com relacao a uma das derivadas parciais , basta assumir a existencia unica e exclusivamente no ponto. 
 
Talvez a condicao mais geral tenha passado desapercebida a outros autores, embora Apostol não afirme ter sido ele o 1o a perceber que a diferenciabilidade eh garantida em condicoes menos rigidas e não alegue qualquer originalidade de sua prova.  Com relação ao livro do Erlon, eu não conheco ainda.
 
Um fato curioso: Em 2002 eu citei este resultado, que vi no livro do Apostol, na lista internacional sci.math  . O grande David Ulrich, da universidade de Oklahoma, um top dog mundial da Análise, comentou que não conhecia a conclusão. Disse "Eu não conhecia este resultado, mas eh de fato verdade e facil de provar" E deu a prova dele, muito parecida com a do Apostol. Pra ele era imediato...Mas ateh entao ele nao sabia.
 
Aqueles que como eu jah pesquisaram diversos livros de Analise, provavelmente jah notaram - o que confunde um tanto os leitores - que as hipoteses assumidas pelos autores com relacao a diversos teoremas nao sao exatamente as mesmas.  Exemplos: teorema de Taylor (algumas vezes se admitem continuidaes nao necessarias), teorema do valor medio para o caso n-dimensional , n>1, e, ateh mesmo, o teorema fundamental do calculo integral. Naqueles teoremas sob integracao e diferianciacao envolvendo um parametro, como a formula de Leibiniz, frequentemente encontram-se hipoteses nao exatamente iguais.  E, na análise no R^n, aqueles teoremas sobre permutacao  na ordem em que se realizam as derivdas parciais tambem sao frequentemente apresentados com hipoteses que variam de autor para autor.
l
Artur
 
 

[Artur Costa Steiner] 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: terça-feira, 2 de maio de 2006 12:23
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função

Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 2 May 2006 08:58:45 -0300
Assunto: [obm-l] Condição (mais geral) para diferenciabilidade de uma função
> Encontrei esta questão em um outro forum:
> http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=0851
>  
> Achei interessante mas não consegui resolver até agora. Alguém poderia me dar alguma luz. 
>  
> Abaixo reescrevo a questão (que aparentemente foi retirada do Spivak - Calculus on Manifolds).
>  
> Seja f: R^{2} -> R.
>  
> As derivadas parciais existem em uma vizinhança do ponto (a,b).
> APENAS uma das derivadas parciais é continua em (a,b).
> Então
> f é diferenciável em (a,b).
>  
> Em todos os livros que estudei, lembro  apenas de ter visto este resultado com a hipótese de que TODAS as derivadas parciais eram continuas no ponto de interesse.
>  
> []'s