[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez

["Ricardo Khawge" <soziwho@xxxxxxxxxxx>]

Desculpe Artur, já encontrei a mensagem


>From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
>Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT)
>
>1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1)  possua 4
>divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1
>e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo
>de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto
>nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5
>for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao
>divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os
>numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem
>pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese.
>Assim, valore impares de n nao implicam a
>correspondencia de4sejada.
>Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos
>divisores impares de m. Alem disto, m tem por
>divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem
>exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao
>ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse
>composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que
>os citados, contrariamente aa hipotese basica.
>Concluimos assim que, a cada valor par de n para o
>qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos -
>corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos.
>Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m
>= n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e
>exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da
>aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de
>m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh,
>a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da
>forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia
>entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os
>numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah
>uma bijecao entre os 2 conjuntos.
>
>A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais
>geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2
>quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2.
>
>A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra
>hora.
>
>Artur
>
>--- Ricardo Khawge <soziwho@hotmail.com> wrote:
>
> > Agradeço  qualquer ajuda nas seguintes questões:
> >
> > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca
> > entre pares de primos
> > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4
> > divisores.
> >
> > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a  e a^p. b-
> > b^p . a são divisíveis
> > por 6p, para todos a>0, com a>b.
> >
> > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode
> > escrever p = y^2 - x^2, com  x
> > e y positivos, de modo único.
> >
> > Obrigado
> >
> >
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