Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1)  possua 4
divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1
e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo
de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto
nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5
for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao
divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os
numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem
pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese.
Assim, valore impares de n nao implicam a
correspondencia de4sejada.
Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos
divisores impares de m. Alem disto, m tem por
divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem
exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao
ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse
composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que
os citados, contrariamente aa hipotese basica.
Concluimos assim que, a cada valor par de n para o
qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos -
corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos.
Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m
= n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e
exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da
aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de
m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh,
a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da
forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia
entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os
numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah
uma bijecao entre os 2 conjuntos. 

A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais
geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2
quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2.  

A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra
hora.

Artur 

--- Ricardo Khawge <soziwho@hotmail.com> wrote:

> Agradeço  qualquer ajuda nas seguintes questões:
> 
> 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca
> entre pares de primos 
> gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4
> divisores.
> 
> 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a  e a^p. b-
> b^p . a são divisíveis 
> por 6p, para todos a>0, com a>b.
> 
> 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode
> escrever p = y^2 - x^2, com  x 
> e y positivos, de modo único.
> 
> Obrigado
> 
>
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