Re: [obm-l] Sobre problemas do tipo "Qual o proximo termo da sequencia"

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 19, 2006 at 11:48:03PM -0300, Bruno França dos Reis wrote:
> Recentemente apareceu na lista o problema daquela sequenciazinha (2, 10, 12,
> 16, 17, 18, 19, ...), dos números naturais cujos nomes, em português,
> começam com a letra D.
> Eu penso o seguinte:
...
> Eu, particularmente, acho meio sem sentido esses problemas de seqüencia do
> tipo "dada a seqüencia, determine o próximo termo".
> Escrevo isso pois já vi  esse tipo de problema em provas do tipo "teste de
> inteligência" (embora nunca tenha feito). Acho meio sem sentido esse tipo de
> questão, que, ao meu ver, admite infinitas respostas (na verdade, todas as
> respostas).

Este assunto já foi bastante discutido aqui, talvez valha a pena procurar
nos arquivos.

Realmente, o que você diz é lógico, correto e pertinente: sempre é possível
achar uma explicação matematicamente correta para justificar qualquer
coisa como "próximo termo". Eu pessoalmente sou contra este tipo de questão
em olimpíadas de matemática, vestibulares ou quase qualquer prova séria.

No entanto, acho que existe um outro ponto de vista a ser considerado.

Digamos que você vá passar uma temporada entre os nativos da misteriosa
ilha de Tumbolia. Os nativos falam uma língua sobre a qual você nada sabe,
exceto que ela é muito diferente de qualquer lingua que você conheça.
Durante um passeio com um nativo, vocês veem um coelho; o nativo aponta
para o coelho e diz: "Gavagai!". O que você deduz?

A resposta lógica é: não deduzo nada: "gavagai" pode querer dizer "coelho",
pode querer dizer "animal", pode querer dizer "orelha esquerda de coelho",
pode querer dizer "objeto branco", ... Mas é irresistível achar que algumas
destas explicações são mais plausíveis do que outras, e que a explicação
mais plausível de todas é que "gavagai" queira dizer "coelho".
Mais relevante, talvez: se você estiver tentando aprender a língua dos
nativos, você não tem escolha exceto fazer este tipo de adivinhação,
mesmo que sabendo que às vezes você vai adivinhar errado e precisar consertar.
Se você pensar, é surpreendente quantas vezes este tipo de adivinhação
dá certo. Ajuda bastante o fato que o nativo de Tumbolia é humano, da mesma
espécie que você, e que a língua dele surgiu por um processo não muito
diferente da sua.

Voltando à matemática, imagine que num problema de olimpíada seja pedido
para determinar quantas vomplas sesquisimétricas de ordem 2006 existem.
Você observa que é fácil calcular f(n), o número destes objetos de ordem n,
"no braço" para valores menores de n, mas que a coisa vai ficando mais
trabalhosa a medida que n aumenta. Você calcula que f(0) = 1, f(1) = 2,
f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 16, f(5) = 32, f(6) = 64 e para, porque está
começando a ficar trabalhoso. O que você deduz?

Novamente, a resposta lógica é: não deduzo (quase) nada. Mas há algo errado
se você não formular pelo menos a conjectura de que f(n) = 2^n, ou se você
não achar que uma conjectura destas pode ajudar a resolver o problema.
É muito possível, por exemplo, que uma fórmula destas possa ser demonstrada
por indução, e é bem mais fácil fazer a demonstração por indução sabendo
o que é que se está tentando provar.

Suponha agora que no problema seguinte (contar vomplas pseudosimétricas) 
os números sejam g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 11, g(4) = 41.
Não é interessante tentar adivinhar uma regra? Você não acharia que
progrediu ao observar que g(n+2) = 4*g(n+1) - g(n) para n = 0, 1, 2?
Você não ficaria tentado a verificar se g(5) é igual a 153?

Existe na internet uma enciclopédia de sequencias de inteiros:
http://www.research.att.com/~njas/sequences
Você entra com os primeiros termos (digamos 1,1,3,11,41) e
ela te diz quais sequencias conhecidas e estudadas começam desta forma.
Neste caso, há exatamente uma seqüência na enciclopédia
que começa assim, e ela é uma seqüência bem estudada:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001835
É claro que a sua seqüência pode ser uma das que estão tabuladas
na enciclopédia mas também pode ser uma seqüência nova e desconhecida.
Eu já usei esta enciclopédia nos meus trabalhos em combinatória
e acho que ela pode ajudar muito.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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