RES: [obm-l] Determinar imagem

["Ralph Teixeira" <RALPH@xxxxxx>]

A pergunta �: para que y existe algum x tal que f(x)=y? Em outras palavras, f(x)=y tem solu��o em x?

 

Ent�o fa�a assim:

 

(1) Se f(x)=y ent�o

raiz(x(x-2))=y

x(x-2)=y^2 (e y>=0, pois y � raiz de alguma coisa)

 

Agora, x(x-2)=y^2 sse x^2-2x-y^2=0. Isto tem solu��o em x (era a pergunta, lembra, se tem solu��o em x) quando DELTA>=0, isto �, 4+4y^2>=0, ou seja, sempre. Assim, f(x)=y tem solu��o para todo y>=0, e a imagem � [0,+Inf).

 

(2) O truque acima fica complicado demais, mas d� para fatorar as coisas:

 

g(x)= (x+4)(x-1)(x+3)(x-3) / ((x+4)(x-3)(x+3)) (imagino que seja isso).

g(x) = x-1 (exceto para x=3, x=-3 e x=-4, onde g(x) n�o existe)

 

A imagem da fun��o x-1 � a reta real toda, j� que esta � bijetiva. No entanto, como no dom�nio n�o temos os valores  x=3, x=-3, x=4 e a fun��o x-1 � bijetiva ent�o temos de retirar da imagem os valores 3-1=2, -3-1=-4 e 4-1=3. Assim:

 

Im g=(-Inf,-4) U (-4,2) U (2,3) U (3,+Inf) = R - {-4,2,3}

 

Abra�o,

        Ralph

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Miguel
Enviada em: sexta-feira, 7 de abril de 2006 14:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Determinar imagem

Ol� a todos.

Qual o procedimento para determinar imagens de fun��es num�ricas? tipo:

(1) f(x) = raiz(x(x - 2))   

(2) g(x) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 9)/(x^2 + x - 12)(x + 3)

Desde j�, agrade�o.

 

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