Re: [obm-l] Calcule f de ...

[Eric Campos <mathfire2001@xxxxxxxxxxxx>]

--- Lucas Molina escreveu:
 
1) Seja   f : R -> R uma função tal que f(1) = 1996 .
Sendo 
 
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=(n^2)f(n) , 
 
calcule f(1996) exatamente.

[Solucao]

Como

[1] f(1)+f(2)+...+f(n)=(n^2)f(n)

subtraindo f(n) tem-se

[2] f(1)+f(2)+...+f(n-1)=(n^2-1)f(n)

pondo n-1 no lugar de n em [1] tem-se

[3] f(1)+f(2)+...+f(n-1)=((n-1)^2)f(n-1)

comparando [2] e [3]...

(n^2-1)f(n) = ((n-1)^2)f(n-1) fatorando...
(n-1)(n+1)f(n) = (n-1)(n-1)f(n-1) cancelando n-1...
(n+1)f(n) = (n-1)f(n-1) dividindo por n+1...

[1*] f(n) = ((n-1)/(n+1))f(n-1) 
pondo n-1 no lugar de n em [1*]...
[2*] f(n-1) = ((n-2)/n)f(n-2)
pondo n-2 no lugar de n em [1*]...
[3*] f(n-2) = ((n-3)/(n-1))f(n-3)
.................................
[(n-2)*] f(3) = (2/4)f(2)
[(n-1)*] f(2) = (1/3)f(1)

multiplicando as igualdades
[1*],[2*],[3*],...,[(n-1)*] e cancelando os fatores
iguais no numerador e denominador tem-se...

f(n)f(n-1)...f(2)=((2)(1)/(n(n+1)))f(n-1)f(f-2)...f(1)

cancelando f(n-1),f(n-2),...,f(2) vem

f(n) = (2/(n(n+1)))f(1)

fazendo n = 1996 e substituindo f(1)=1996 tem-se

f(1996) = (2/(1996*1997))*1996 = 2/1997

... desde que sem contas erradas

Eric.




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