[obm-l] RE: [obm-l] dúvida fatorial

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Reginaldo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( estou escrevendo sem acentos )

Porque e conveniente ... Este postulado ( 0!=1 ) e consistente com outras 
crencas e as implicacoes dele sao uteis na pratica. De fato :

1) ACREDITANDO que a FUNCAO GAMA e a generalizacao do conceito de fatorial, 
e possivel DEDUZIR este postulado.
2) Admitindo este postulado, calculos combinatorios com numeros binomiais 
ficam mais faceis, sinteticos e concordam com a nossa PRATICA habitual de 
contar.

Entretanto :

3) Nao existe nenhuma prova ou razao apoditica de que a funcao gama seja A 
GENERALIZACAO do conceito de fatorial. Muito provavelmente ela e UMA 
GENERALIZACAO, sem nenhuma vantagem logica sobre outras potencialmente 
possiveis ( e potencialmente interessantes ! )
4) Em Matematica, o fato da pratica confirmar a teoria nao e uma razao 
definitiva para nao modificarmos esta teoria. Basta lembrar do nascimento 
das Geometrias nao-euclidianas ...

Quando voce olha para um numero binomial BINOM(N,P) e o define assim :

BINOM(N,P) = N! / ( P! * (N-P)! )

Voce, em verdade, esta ADMITINDO PREVIAMENTE A DEFINICAO DE FATORIAL e 
definindo uma funcao a duas variaveis com certas restricoes. Mas voce tambem 
poderia fazer assim :

Defino :

BINOM(N,0)=1 onde N=0,1,2,...
BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,...

Neste caso voce vai obter OS MESMOS RESULTADOS sem lancar mao de uma 
definicao previa de fatorial. Mas, o que nos impede de definir :

BINOM(N,0)=2 onde N=0,1,2, ...
BINOM(N+1,P)=BINOM(0,P-1) + ... + BINOM(N,P-1) onde P=1,2,...

No primeiro caso voce obtem o bem conhecido TRIANGULO DE PASCAL, que 
chamaremos doravante de PASCAL. No segundo caso, um "PASCAL DOBRADO" ou 
2*PASCAL :

2
2 2
2 4 2
2 6 6 2
...

E no entanto, o 2*PASCAL mantem formalmente as mesmas propriedades basicas ( 
Ex : Teorema das Colunas ) do triangulo tradicional, conforme se ve 
facilmente ...

Quanto vale 0! no 2*PASCAL ?

BINOM(N,0) = 2 = N! / (0! * (N-0)! ) => 0!=1/2

Veja que agora temos maior liberdade. Nao somos mais escravos da postulacao 
0!=1

Evidentemente, no 2*PASCAL,  nao podemos mais interpretar BINOM(N,P) como o 
numero de combinacoes com P elementos que podemos formar se dispormos de N 
elementos. Bom, isso e decisivo ? E o noumeno sagrado que nao se pode tocar 
? Sera que o 2*PASCAL nao nos permite fazer interpretacoes igualmente 
interessantes ?

Para um K*PASCAL, defino : NIC=1/0! . Assim, o triangulo de pascal e o 
1*PASCAL=PASCAL com NIC=1. Para cada real NIC ha um triangulo bem 
determinado com potenciais interpretacoes nao menos interessantes.

Finalmente, me permito uma digressao. Pode-se definir a sequencia de 
fibonaci pelo triangulo de pascal. Basta partir da coluna zero e "subir" em 
diagonal, somando os numeros binomiais. Obteremos assim esta sequencia tao 
conhecida.

( Veja : Um ensaio sobre a beleza na Matematica - Huntley - Editora Univ. de 
Brasilia )

Se fizermos NIC=fi, fi = LIM f(n+1)/f(n) onde f(n) e o enesimo termo da 
sequencia de fibonaci, qual e o "triangulo tipo Pascal" correspondente ?

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1225,030406




>   From: reginaldo.monteiro
>   To: obm-l
>   Sent: Monday, April 03, 2006 9:49 AM
>   Subject: [obm-l] dúvida fatorial
>
>
>   Bom dia,
>
>   Alguém saberia me informar por que 0! = 1?
>
>   Obrigado
>
>   Reginaldo

_________________________________________________________________
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================