|
Estah
certo.
De
modo geral, vc pode apoiar o solido em um plano horizontal e considerar um
eixo vertical orientado positivamente para cima. Para a distancia h
medida sobre o eixo, seja S(h) a area da seccao reta do solido, obtida
seccionando-o por um plano horizontal que diste h do plano de referencia.
Assumindo-se que s funca S seja integravel, podemos dividir o solido em
cilindros elementares, cada um com volume dV(h) = S(h) dh. Entao, para uma
distancia z do referencial, V(z) = Integral (0 a z) S(h) dh. Pelo
torma fundamental do calculo integral, temos que V'(z) =
S(z).
Caso
real: determinacao do reservatorio de uma usina hidreletrica. Atraves de
levantamentos aerofotogrametricos com laser, determinam-se os "cilindros
elementares", que , no caso, estao mais para troncos de cone. "Integram-se estes
cilindros, no caso uma soma. Ajusta-se por minimos quadrados uma curva aos dados
assim gerados. Frequntemente um polinomio. A area do espelho dagua eh entao a
dreivada do volome com relacao aa cota.
Artur
[Artur
Costa Steiner] -----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Ronaldo Luiz
Alonso
Enviada em: sexta-feira, 31 de março de 2006
17:45
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l]
derivada
Estva pensando agora pouco que dá para fazer
isso
com o cilindro, que é simétrico em relação a z,
pois
neste caso dá para dividí-lo em cilindros
elementares
e expressar o volume como dV
= S(r).dr.
No caso de um cone acho que
não dá para fazer o mesmo, pois a área lateral
não seria
somente função de r, mas de r e h (sendo h a
altura do
cone). Tá certo isso?
----- Original Message -----
Sent: Friday, March 31, 2006 4:59
PM
Subject: RES: [obm-l] derivada
Eu
acho que depende do solido, mesmo que haja simetria com relacao a um eixo.
Eh valido se, para calcular o volume de um solido em funcao de uma de suas
medidas r, for póssivel dividi-lo em solidos elementares tais que, para cada
um deles, possamos ter dV = S dr, onde S eh a area lateral. Isso esta bem
explicado em livros da cadeira usualmente chamada de Callculo,
como o classico do Kaplan.
Artur
Dá para generalizar para outros
sólidos?
Podemos afirmar que isso deve valer
para
tudo que é simétrico em
relação a um eixo ?
----- Original Message -----
Sent: Friday, March 31, 2006 3:17
PM
Subject: RES: [obm-l]
derivada
Eh sim. Pelo seguinte:
Sabemos que a superficie de uma esfera de raio r eh 4*pi * r^2.
Se quisermos calcular o volume de uma esfera de raio R, podemos
dividi-la em coroas esfericas elementares, cada uma com volume dV
= 4*pi*r^2 dr. Integrando, fazeno r variar de de 0 a R, obtemos a
conhecida formula V = 4/3 * pi * R^3. Consequencia do teorema
fundamental do Calculo Integral.
Por um raciocinio semelhante, vemos que o comprimento de um
circulo, 2*pi*r eh a derivada de sua area pi*r^2.
Artur
Boa noite, gostaria de uma ajuda com
uma dúvida.
A derivada do volume de uma esfera é
a superfície, certo?
Por quê? Existe outras relações como
essas?
Obrigado
|