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[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RE=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Exerc=EDcios=20de=20An=E1lise?=
'>'1)Sejam X um conjunto infinito e Y um subconjunto finito de X. Mostre
que
'>'#(X)=#(X-Y).
Como X é infinito, existe um Z contido em X (contendo Y) infinito enumerável.
Digamos, Z = {z_1, ..., z_n, z_(n+1), ...}, com Y = {z_1, ..., z_n}. Definindo
f: X --> X-Y por f(u) = u se u está em X\Z e f(z_k) = z_(k + n), temos uma
bijeção, e então #X = #(X-Y).
'>'2) Um número racional possui expansão decimal finita se, e somente se,
o
'>'denominador da fração irredutível possui somente os fatores 2 e 5.
Seja x = a/b o racional na forma irredutível. Podemos supor que a < b. Se
a representação decimal é finita, então x = x_1*10^(-1) + ... + x_m*10^(-m)
= (x_1*10^(m-1) + ... + x_m)/10^m = a/b. Assim, temos que b divide 10^m,
logo b = 2^i*5^j.
Inversamente, se b é dessa forma, então seja k inteiro tal que b*k é uma
potência de 10. Temos x = a*k/b*k. Como a < b, a*k = a_0 + ... + a_r*10^r
(0 <= a_u < 10), b*k = 10^s, com s > r. Então x = a_r*10^(-(s-r)) + ...
+ a_0*10^(-s) é representação decimal finita de x.
'>'3) Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção dele
com
'>'uma parte própria Y C X, X diferente de Y.
É bem óbvio que se X é finito, então não pode haver tal bijeção, já que
#Y < #X. Para mostrar que quando X é infinito existe a bijeção, basta copiar
o argumento do exercício 1.
[]s,
Daniel
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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