Re: [obm-l] Dúvida

["Aldo Munhoz" <amunhoz@xxxxxxxxx>]

(1) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
(2) a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 = (ab + bc + ac)^2 - 2abc(a + b + c) 
(3) ab + bc + ac = [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]/2

Substituindo (2) e (3) em (1):
(4) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]^2/2 + 4abc(a + b + c)

usando o fato de que a + b + c = 0 e a^2 + b^2 + c^2 = 1 em (4):
a^4 + b^4 + c^4 = 1/2

On 3/28/06, Aldo Munhoz <amunhoz@gmail.com> wrote:

Júnior,

Eu notei que (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 é realmente uma expressăo válida. Mas de onde vem isto? Existe alguma expressăo com mais termos?

Abraços,

Aldo

On 3/28/06, Júnior <jssouza1@gmail.com> wrote:

a+b+c=0 (I)
a^2+b^2+c^2=1 (II)
a^4+b^4+c^4=?

De (I) e (II) tiramos que: (a+b+c)^2 =  a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)  ==> (ab+ac+bc)=-1/2.

Dados tres numeros reais, existe um polinomio do 3ş grau tal que esses tres numeros sejam raizes. Apartir disso escrevo: x^3 -t_1(x^2)+t_2(x^2)-(t_3)(p)=0

Girard: a+b+c=-(-t_1)
           ab+bc+ac=(t_2)=-1/2
           abc=-(-t_3)
S_n: soma das n-esimas potencias.
(S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0
Fazendo n=1 vem:
S_4 + 0 -1/2 -0 = 0
S_4 = 1/2.     
Omiti algumas continhas, pois ja estava ficando muito extenso.

Júnior.