Re: [obm-l] EXERCICIOS BONS

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 24, 2006 at 12:29:02AM -0300, vinicius aleixo wrote:
>   "Ande da palmeira até a entrada da caverna.lá chegando, vire 90º à direita
>   e caminhe o mesmo número de passos.No fim desse trajeto coloque uma marca e
>   retorne à palmeira.Agora, caminhe em direção à pedra.Lá chegando,vire 90º à
>   esquerda e caminhe o mesmo número de passos que foram dados da palmeira até
>   a pedra.Coloque uma marca no fim desse trajeto.O tesouro está no ponto
>   médio das duas marcas." Quando chegamos a ilha, a palmeira não existia
>   mais.Como fazer para achar o tesouro?

Basta plantar uma palmeira nova! :-)

O que 'e preciso demonstrar 'e que a posicao da palmeira nao afeta 
a posicao do tesouro. Deixamos esta conta a cargo do leitor.

Serio, este problema eh *muito* conhecido. Ja foi discutido um monte
de vezes na lista.
    
>   2-Demonstrar que (x+1)^(6n+1)- x^(6n+1)- 1 é divisível por x^2 +x +1

Sejam w = (-1+sqrt(-3))/2 = exp(2 pi/3) e w^2 = (-1-sqrt(-3))/2 = exp(4 pi/3)
as raizes de x^2+x+1. Basta provar que w e w^2 sao raizes de
p(x) = (x+1)^(6n+1)- x^(6n+1)- 1 (o primeiro polinomio).
Ou melhor, como w e w^2 sao complexos conjugados e p tem coeficientes reais
basta provar que p(w) = 0. Note que w+1=exp(pi/3), (w+1)^6 = 1, w^6 = 1.
p(w) = (w+1)^(6n+1) - w^(6n+1) - 1
= ((w+1)^6)^n * (w+1) - (w^6)^n * w - 1 = w + 1 - w - 1 = 0.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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