[obm-l] volume tronco de piramide

[niski lista <niskilista@xxxxxxxxx>]

Olá colegas. Me deparei com o problema de determinar aonde devo marcar
uma reta num tronco de piramide quadrangular de tal forma que que os
troncos formados acima e abaixo desta reta tenham volume iguais. De
modo mais preciso dado um tronco de piramide quadrangular com area de
base menor A1, area de base maior A2 e altura H, partindo da base
maior onde (h) eu devo cortar o tronco de cone?

Bom inicialmente eu pensei em usar as razoes em solidos semelhantes
sejam V1 o volume do tronco original e V2 o volume do tronco que quero
que tenha metade do volume, imponho V1/V2 = 2 e (H/h)^3 = (V1/V2) isso
implicaria que o tronco deveria ter altura h = H/cbrt(2). O que
impiricamente percebi que era falso. Mas nao entendi pq aquela relacao
nao se aplica. Os dois troncos nao sao semelhantes? Pq? Como determino
quando dois solidos sao semelhantes?

Depois tomei outra atitude que acredito estar correta.Antes me
perguntei: Dado um trapezio isosceles ABCD se passo uma reta com
distancia h da base maior AB determinando os pontos E no lado AD e I
no lado CB qual é o tamanho da base menor do novo trapezio formado?
Isto é quando mede EI em funcao de h sendo dados AB, DC e H?
Cheguei que EI = (AB*H + DC*h - AB*h)/H

Sabendo que o volume do tronco de piramide quadrangular é dado por
(1/3)*h[tronco]*(A1+A2 + sqrt(A1*A2))
Para determinar o meu h eu resolvi a equacao

[(1/3)*H*(A1+A2 + sqrt(A1*A2))]/[(1/3)*h*((EI^2)+A2 + sqrt((EI^2)*A2))] = 2
em funcao de h.

onde A1 = DC^2 e A2 = AB^2
Alias se essa formula estiver correta ela determina a altura que
devemos cortar um tronco de cone para determinar um outro que tenha
qualquer relacao de volume com o original basta mudar o 2. O problema
é que isolar o h dessa expressao é muito complicado. Alguem conhece um
outro meio?

Um abraco

Niski

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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