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Olá,
primeiramente vamos analisar o seguinte
problema:
x+y+z = k, x >= 0, y >= 0, z >=
0
Imaginemos que vc tem k palitos de sorvete e 2
pedras.. de quantos modos vc pode organiza-los?
(k+2)! / (k! 2!), certo?
que é igual a C(k+2, 2) .. combinação de k+2,
tomados 2 a 2.
Agora, considere que cada palito é a unidade, e as
pedras são os sinais de soma.. então, este tbem eh q quantidade de soluções
inteiras e não negativas da equação.
Deu pra entender?
Analogamente vamos tentar resolver seu
problema,
ax + by + cz = k, x>= 0, y >= 0, z >=
0
Se pegarmos os casos em que x > 0, então ax
>= a ... logo: ax - a >= 0
ax - a = X .. logo.. ax = X + a
Analogamente para os outros casos, entao,
teremos:
X + a + Y + b + Z + c = k
X + Y + Z = k - a - b - c .... X >= 0, Y >=
0, Z >= 0
Bom, ja vimos que o numero de solucoes é: C(k - a -
b - c, 2)
Agora, falta os casos em que eles podem ser zero..
entao:
x = 0... y > 0.. z > 0 => by + cz = k
...
analogamente ao primeiro exemplo, teremos (k - b -
c + 1)! / (k - b - c)! = C(k - b - c, 1)
Assim..
y = 0 => C(k - a - c, 1)
z = 0 => C(k - a - b, 1)
Agora, com 2 iguais a zero:
x = 0, y = 0... só terá solução se c | k....
podendo ser 1 ou 0
analogo para os outros..
Não tenho certeza da minha solucao.. apenas
apliquei uma ideia que ja sabia (a que apresentei no comeco da
mensagem)...
Abraços,
Salhab
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