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Olá Bruna,
1) Seja x um inteiro, entao:
x = 3k + r, onde r pode ser 0, 1 ou 2.
se r = 0, temos x = 3k
se r = 1, temos x = 3k + 1
se r = 2, temos x = 3k + 2 = 3k + 3 - 1 = 3(k+1) -
1
2) a = 2n + 1, b = 2m + 1
a^2 - b^2 = 4(n^2 - m^2) + 4(n - m) = 4(n + m)(n-m)
+ 4(n-m) = 4(n-m)(n+m+1)
Agora precisamos provar que ou (n-m) é multiplo de
2, ou (n+m+1) é multiplo de 2.
Suponha que n-m seja impar, sabemos
que:
par - par = par
par + par = par impar + impar = par
impar - impar = par par + impar = impar
par - impar = impar Logo, se n-m é impar, n+m tambem é impar, logo,
n+m+1 é par.. logo, é multiplo de 2.
No caso de n-m ser par, ele é multiplo de
2.
E esta provado para todos os casos.
Para demonstrar as relacoes par, impar apresentadas
acima, suponha a e b impares, ou pares, ou um impar e outro par,
e trabalhe com a ideia de que um par é da forma 2k,
e um impar da forma 2k+1.
3) Suponha o inteiro par, entao: x = 2k, x^2 = 4k^2
.. ok!
Suponha o inteiro impar, entao: x = (2k+1) = 4k^2 +
4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1.. que é da forma 4k' + 1, onde k' = k^2 + k
Abraços,
Salhab
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