Re: [obm-l] Limite de Seqüência

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Isso aí é um processo iterativo para calcular uma aproximação para a raiz quadrada de um número.
Vou mostrar a validade de um mais genérico, que calcula a raiz p-esima de um número.

Seja p natural maior do que ou igual a 2, e a um real positivo. Defina
a sequencia xn recursivamente por xn+1 = 1/p [ (p-1)*xn +
a/(xn^(p-1))], tomando x0 um real positivo arbitrario. Mostre que xn
--> a^(1/p), quando n --> oo.

Seja phi(x) = 1/p [ (p-1)*x + a/(x^(p-1))]. Devemos inicialmente verificar que a^(1/p) e ponto fixo de phi. Temos:
phi(a^(1/p)) = 1/p [ (p-1)*a^(1/p) + a*(a^1/p)/a ] = 1/p * [a^(1/p) * (p-1 + 1)] = a^(1/p)
Então a^(1/p) é ponto fixo de phi.
Temos que phi'(x) = (p-1)/p * (1 - a/x^p)
Então phi'(a^(1/p)) = 0, e lim_{x->oo} phi'(x) = (p-1)/p < 1.
Concluimos então que abs(phi'(x)) < (p-1)/p, se x >=a^(1/p).
Se 0 <= x < a^(1/p), phi(x) > a^(1/p) como se pode verificar.
Então para qualquer x0 >= 0, phi^n(x0) estará no intervalo [a^(1/p),
oo), n>=1. Então sempre estaremos, no segundo iterado em diante, num
intervalo que a derivada da phi é menor que 1 em módulo.
Logo, haverá a convergência para o ponto fixo de phi.

Tomando p = 2, e não importa o x0, que no caso vc escolheu como sendo a/2, haverá a convergência para sqrt(a).

Abraço,
Bruno

On 1/21/06, Henrique Rennó <henrique.renno@gmail.com> wrote:

Olá!!!

Recentemente enviei em anexo uma prova de matemática do exame POSCOMP
(pdf - 70 KB) para tirar uma dúvida a respeito de um exercício mas
parece que a lista da OBM não aceita pois o e-mail retornou dizendo
que não foi possível ser entregue. Dessa forma, estou enviando o
enunciado nesta mensagem e gostaria de saber como resolver o exercício
nº 6 ou como eu poderia pesquisar sobre o assunto para resolvê-lo.

Problema:

A seqüência xn é definida recursivamente por

x0 = a/2
xn+1 = (xn + a/xn)/2 para n >= 0

onde a é um número real maior do que 1.
Se lim xn com n --> inf = L podemos afirmar que

(a) L = 1
(b) L = 1/a
(c) L = a
(d) L = 1/2a
(e) L = raiz_quadrada(a)

Abraços!!!

--
Henrique

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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-- 
Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0