Re: [obm-l] Questões de Teoria dos Números (Livro do Plínio)

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, Sergio
Aqui vão uns rabiscos das questões.

1)
n^2 mod 7 só pode assumir os valores 0, 1, 2 e 4, (veja que uma classe
completa de residuos modulo 7 é -3,-2,-1,0,1,2,3, e que se vc elevar os
membros ao quadrado, sobram só os positivos, então pra determinar as
possibilidades de n^2 mod 7 basta ver o valor de 0^2, 1^2, 2^2 e 3^2
mod 7) então 4n^2 só pode assumir 0, 1, 2, 4 também, e 4n^2 - 3,
portanto, não pode assumir nunca o valor 0, o que implica que 7 não
divide nenhum número da forma 4n^2 - 3.

2)
Pra esse aqui, veja que para 2 não dá, para 3 dá, e assuma que p é um
primo maior que 3. Então veja que, tomando QUALQUER inteiro (nao
precisa ser primo), OU n, OU n+2 OU n+4 (sendo estes ou's exclusivos,
isto é, a veracidade de um implica a falsidade dos outros 2, e
necessariamente há um verdadeiro) é um multiplo de 3. Isso também vale
para os primos maiores que 3.

3)
Seja c = kb. Sejam m = MDC(a, b) e a = mu, b = mv, com MDC(u,v)=1. Temos:
a + c = mu + kb = mu + kmv = m(u + kv)
MDC(a+b,c) = MDC(m(u+kv),mv) = m*MDC(u+kv,v)
Mas u+kv e v são primos entre si (por quê? use o fato de que u e v são primos entre si, e veja o que acontece modulo v).
Então MDC(u+kv,v) = 1 ==> MDC(a+b,c) = m = MDC(a,b)

Abraço

On 1/5/06, Sérgio Farias <sergiofariasfilho@yahoo.com.br> wrote:

Olá.

Estou tendo dificuldade com algumas questões do livro Introdução à Teoria dos Números do Plínio, editado pelo IMPA.

 

Eis as questões:

 

- "Provar que não existe n pertencente aos naturais tal que 7 divida (4n^2 - 3).

- "Mostrar que 3 é o único primo p tal que p, p+2 e p+4 são todos primos"

- "Mostrar que se b divide c, então MDC (a + c, b) = MDC (a, b)"

 

Desde já agradeço.

 

Cordialmente,

Sérgio Farias.

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0